Tekst źródłowy strony Całkowanie przez podstawienie

'''Całkowanie przez podstawienie''' – jedna z metod obliczania zamkniętych form [[całka|całek]].
__TOC__

== Opis metody ==
Jeśli:
* Funkcja <math>\psi(x)</math> jest [[Funkcja różniczkowalna|różniczkowalna]] w <math>D</math>
* <math>I=\psi(D)</math> jest [[przedział (matematyka)|przedziałem]]
* Funkcja <math>g(x)</math> ma [[funkcja pierwotna|funkcję pierwotną]] w przedziale <math>I,</math> tzn. <math>G'(t) = g(t)</math> dla <math>t</math> należących do <math>I</math>
* <math>f(x) = g(\psi(x)) \cdot \psi'(x), x \in D</math>

to funkcja <math>f</math> jest całkowalna w <math>D</math> oraz:
: <math>\int f(x) dx = \int g(\psi(x)) \cdot \psi'(x) dx = G(\psi(x)) + C</math>

Równoważnie, jeśli całkę można sprowadzić do postaci:
: <math>\int f(g(x)) g'(x) dx,</math>

to można zmienić podstawę całkowania na <math>g(x){:}</math>
: <math>\int f(g(x)) dg(x).</math>

W przypadku obliczania [[całka oznaczona|całek oznaczonych]] poprzez podstawienie zmianie ulegają granice całkowania. W takim przypadku twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie wygląda następująco:

Założenia:
* Funkcja <math>f</math> jest całkowalna w swej dziedzinie.
* Funkcja <math>g</math> określona na przedziale <math>[a; b]</math> jest różniczkowalna w sposób ciągły.
* <math>g'(x) \ne 0</math> dla każdego <math>x</math> z przedziału <math>(a; b).</math>
* Obraz funkcji <math>g</math> zawiera się w dziedzinie funkcji <math>f.</math>

Wówczas<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3882830 | tytuł = całkowy rachunek | data dostępu = 2022-10-03 }}</ref>:
: <math>\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(x)dx = \int\limits_a^b f(g(t)) \cdot g'(t)dt</math>

== Przykłady ==
* Obliczając całkę <math>\int \frac{\ln(x)}{x} dx,</math> zastosować można podstawienie <math>\ln(x) = t,</math> tzn. <math>\tfrac{dx}{x} = dt,</math> więc:
: <math>\int \frac{\ln(x)}{x} dx = \int t\ dt = \tfrac12 t^2 + C = \tfrac12 \ln^2(x) + C.</math>

* Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej:
: <math>\int \sin (2x + 3) dx = \frac{1}{2} \int \sin(2x + 3) \cdot 2 dx = \frac{1}{2} \int \sin (2x + 3) \cdot d(2x + 3) = -\frac{1}{2} \cos (2x + 3) + C.</math>

== Przydatne podstawienia ==
=== Całkowanie funkcji trygonometrycznych ===
Całkując [[funkcja wymierna|funkcje wymierne]] [[funkcje trygonometryczne|funkcji trygonometrycznych]] (czyli funkcje postaci <math>R(\sin x, \cos x)</math>) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń:
* W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne <math>t = \operatorname{tg}\frac{x}{2}.</math> Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane.
* Jeśli funkcja jest [[Funkcje parzyste i nieparzyste|nieparzysta]] ze względu na [[Funkcje trygonometryczne|sinus]] <math>(R(-\sin x,\cos x)= -R(\sin x,\cos x)),</math> stosuje się podstawienie <math>t = \cos x</math>
* Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na [[Funkcje trygonometryczne|cosinus]] <math>(R(\sin x, -\cos x) = -R(\sin x, \cos x)),</math> stosuje się podstawienie <math>t = \sin x</math>
* Jeśli funkcja jest [[Funkcje parzyste i nieparzyste|parzysta]] ze względu na sinus i cosinus równocześnie <math>(R(-\sin x, -\cos x) = R(\sin x, \cos x)),</math> stosuje się podstawienie <math>t = \operatorname{tg}x</math>

Za pomocą [[jedynka trygonometryczna|jedynki trygonometrycznej]] oraz innych tożsamości trygonometrycznych można wyprowadzić czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego:
: <math>t = \operatorname{tg}\frac{x}{2}</math>
: <math>\frac{x}{2}=\operatorname{arctg}t</math>
: <math>dx = \frac{2}{1+t^2}dt</math>

zachodzi:
: <math>\sin x = \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{2 \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{\frac {\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}+1} = \frac{2t}{t^2+1}</math>

: <math>\cos x = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}} = \frac{1-\frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}}{1+\frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}} = \frac{1-t^2}{1+t^2}</math>

W przypadku podstawienia <math>t = \operatorname{tg}x</math> mamy dla funkcji postaci <math>R(\sin^2 x, \cos^2 x, \sin x \cos x){:}</math>
: <math>x = \operatorname{arctg}t,</math> <math>dx=\frac{dt}{1+t^2}</math>

: <math>\sin^2 x = \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x + \cos^2 x} \cdot \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}= \frac{t^2}{t^2 + 1}</math>

: <math>\cos^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x + \cos^2 x} \cdot \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{t^2 + 1}</math>

: <math>\sin x \cos x= \frac{\sin x \cos x}{\sin^2 x + \cos^2 x} \cdot \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{t}{t^2 + 1}</math>

==== Przykłady ====
Przykład zastosowania podstawienia uniwersalnego:
: <math>\int \frac{dx}{1+\sin x+\cos x} = \int \frac{\frac{2}{1+t^2}dt}{1+\frac{2t}{t^2+1}+\frac{1-t^2}{1+t^2}} = \int \frac{2dt}{1+t^2+2t+1-t^2} =</math>
: <math>= \int \frac{dt}{t+1} = \ln |t+1|+C = \ln |\operatorname{tg}\frac{x}{2} + 1|+C</math>

=== Podstawienia Eulera ===
Podstawienia [[Leonhard Euler|Eulera]] stosuje się przy obliczaniu całek funkcji postaci <math>R(\sqrt{ax^2+bx+c}, x),</math> gdzie R jest [[funkcja wymierna|funkcją wymierną]].

==== I podstawienie Eulera ====
I podstawienie można stosować, gdy a>0. Przyjmuje się wtedy: <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}\;x.</math> Wobec tego otrzymuje się:
: <math>ax^2+bx+c=ax^2-2\sqrt{a}\;x\;t+t^2 \implies x(b+2\sqrt{a}\;t)=t^2-c \implies x=\frac{t^2-c}{b+2\sqrt{a}\;t},</math>

: <math>dx=\frac{2t(b+2\sqrt{a}\;t)-2\sqrt{a}\;(t^2-c)}{(b+2\sqrt{a}\;t)^2}dt.</math>

Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi: <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}\;\frac{c-t^2}{b+2\sqrt{a}\;t}+t.</math>

==== II podstawienie Eulera ====
II podstawienie można stosować, gdy c>0. Przyjmuje się wtedy:
: <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}.</math>

Zachodzi:
: <math>ax^2+bx+c=x^2t^2+2\sqrt{c}xt+c \implies ax+b=xt^2+2\sqrt{c}t \implies x(a-t^2)=2\sqrt{c}t-b \implies x=\frac{2\sqrt{c}t-b}{a-t^2},</math>
: <math>dx=\frac{2\sqrt{c}(a-t^2)+2t(2\sqrt{c}t-b)}{(a-t^2)^2}dt.</math>

Zgodnie z przyjętym podstawieniem otrzymuje się: <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\frac{2\sqrt{c}t^2-bt}{a-t^2}+\sqrt{c}.</math>

Drugie podstawienie Eulera można zapisać następująco:
: <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=(x-\alpha)t-\sqrt{\lambda}.</math>

Wtedy gdy <math>(a>0) \vee (b^2-4ac>0),</math> to da się tak dobrać <math>\alpha,</math> aby <math>\lambda>0.</math>

==== III podstawienie Eulera ====
III podstawienie można stosować, gdy istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub> trójmianu <math>ax^2+bx+c.</math> Przyjmuje się wtedy:
: <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a(x-x_0)(x-x_1)}=t(x-x_1).</math> Stąd:

: <math>(x-x_1)t^2=a(x-x_0) \implies x(t^2-a)=t^2x_1-ax_0 \implies x=\frac{t^2x_1-ax_0}{t^2-a},</math>

: <math>dx=\frac{2ta(x_0-x_1)}{(t^2-a)^2}dt.</math>

Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi: <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=t\left( \frac{t^2x_1-ax_0}{t^2-a}-x_1\right).</math>

=== Całkowanie różniczek dwumiennych ===
[[forma różniczkowa|Różniczka dwumienna]] jest to wyrażenie postaci: <math>x^m(a+bx^n)^pdx,</math> gdzie <math>a</math> i <math>b</math> są niezerowymi [[Liczby rzeczywiste|liczbami rzeczywistymi]] oraz <math>m, n</math> i <math>p</math> są pewnymi [[liczby wymierne|liczbami wymiernymi]]. Niech ponadto <math>p = \frac{q}{r},</math> gdzie <math>q, r</math> są liczbami [[liczby całkowite|całkowitymi]]. Twierdzenie [[Pafnutij Czebyszow|Czebyszewa]] mówi, iż całkę
: <math>\int x^m(a+bx^n)^p~dx</math>

można wyrazić za pomocą skończonej liczby [[Funkcje elementarne|funkcji elementarnych]] jedynie w trzech przypadkach:
* gdy <math>p</math> jest liczbą całkowitą; przypadek nie wymaga podstawień.
* gdy <math>\frac{m+1}{n}</math> jest liczbą całkowitą; stosuje się wtedy podstawienie <math>t=\sqrt[r]{a+bx^n}.</math>
* gdy <math>\frac{m+1}{n}+p</math> jest liczbą całkowitą; stosuje się podstawienie <math>t=\sqrt[r]\frac{a+bx^n}{x^n}.</math>

=== Podstawienia trygonometryczne ===
Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień:
* <math>\int R(x,\sqrt{x^2+a^2})dx</math> – podstawiamy <math>x = a \sinh t</math> lub <math>x = a \operatorname{tg} t</math>
* <math>\int R(x,\sqrt{x^2-a^2})dx</math> – podstawiamy <math>x = a \cosh t</math> lub <math>x = a \sec t</math>
* <math>\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})dx</math> – podstawiamy <math>x = a \operatorname{tgh} t</math> lub <math>x = a \sin t</math>

=== Inne podstawienia ===
* Całki typu <math>\int R(e^x)dx</math> obliczamy przez podstawienie <math>e^x = t.</math> Stąd: <math>x = \ln{t}, \quad dx = \frac{dt}{t}.</math>
* Całki typu <math>\int R\left(x, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_1}, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_2}, \dots, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_n}\right)dx,</math> gdzie p<sub>1</sub>, p<sub>2</sub>, ..., p<sub>n</sub> są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając <math>\frac{ax+b}{cx+d} = t^k,</math> gdzie k jest [[Najmniejsza wspólna wielokrotność|najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb]] p<sub>1</sub>, p<sub>2</sub>, ..., p<sub>n</sub>.

== Zobacz też ==
* [[całkowanie przez części]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} Tomasz Drwięga, ''[https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/handbook/9/module/107/reader Podstawienia Eulera]'', serwis [[Open AGH]], [[Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie]], epodreczniki.open.agh.edu.pl [dostęp 2024-09-09].
{{otwarty dostęp}} Nagrania na [[YouTube]] [dostęp 2024-09-09]:
* ''[https://www.youtube.com/playlist?list=PLUchO7GuOkaCy4778tyOfh6i5bcKlFi_r Analiza – całkowanie przez podstawienie]'', kanał [[Khan Academy]].
* Helena Kazieko, ''[https://www.youtube.com/watch?v=fHkVAm2EQ4M Całkowanie przez podstawienie]'', kanał Nauka / Science [[Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie|SGGW]], 5 maja 2020.
* Paweł Lubowiecki, ''[https://www.youtube.com/watch?v=6kZYZr-Xwy0 Całka nieoznaczona cz. IV. – Całkowanie przez podstawienie]'', [[Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego]], kanał „Uczelnia WAT”, 7 czerwca 2022.

{{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Integration_by_substitution Integration by substitution]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].

{{Całki}}

[[Kategoria:Całki]]

[[es:Métodos de integración#Método de integración por sustitución]]