Tekst źródłowy strony Całka niewłaściwa

[[Plik:Improperintegral1.png|thumb|200px]]
[[Plik:Improperintegral2.png|thumb|200px|Pole pod wykresem funkcji na przedziale nieskończonym jest skończone, równe <math>\pi/2</math>]]
'''Całka niewłaściwa''' – rozszerzenie pojęcia [[Całka Riemanna|całki Riemanna]] na przedziały nieograniczone albo takie, w których całkowana [[funkcja]] jest nieograniczona. W obu przypadkach jest to granica pewnej funkcji zdefiniowanej przez całkę<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3947594 | tytuł = całka niewłaściwa | data dostępu = 2022-06-20}}</ref>.

== Ustalenia wstępne ==
=== Całka na przedziale nieograniczonym ===
Niech dla każdego <math>A > a</math> funkcja
: <math>f\colon [a,\infty)\to \mathbb{R}</math>

jest całkowalna w przedziale <math>[a, A].</math> Granicę
: <math>\int\limits_a^\infty f(x)dx=\lim_{A\to \infty} \int\limits_a^A f(x)dx</math>

nazywa się ''całką niewłaściwą funkcji'' <math>f</math> w granicach od <math>a</math> do <math>\infty.</math> Jeżeli granica ta istnieje i jest skończona, to mówi się, że całka ta jest ''zbieżna'', w przeciwnym przypadku mówi się, że jest ''rozbieżna''. Analogicznie określa się całkę niewłaściwą w granicach od <math>-\infty</math> do <math>a</math> i od <math>-\infty</math> do <math>\infty{:}</math>
: <math>\int\limits_{-\infty}^a f(x)dx=\lim_{A\to -\infty} \int\limits_A^a f(x)dx,</math>
: <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)dx=\lim_{A\to -\infty,\ B\to \infty} \int\limits_A^B f(x)dx.\quad \ \ (*)</math>

Można udowodnić, że ostatnie wyrażenie (jeżeli [[granica wielokrotna|ta granica]] istnieje) jest równe
: <math>\int\limits_{-\infty}^c f(x)dx+\int\limits_c^\infty f(x)dx,\quad \ \ (**)</math>

gdzie <math>c</math> jest dowolną liczbą rzeczywistą. Oprócz tego, istnienie obu całek z wyrażenia <math>(**)</math> powoduje istnienie granicy z <math>(*),</math> jeżeli te całki nie są równe nieskończonościom różnych znaków. Więc całkę <math>(*)</math> można zdefiniować przez wyrażenie <math>(**).</math>

=== Całka funkcji nieograniczonej ===
Niech
: <math>f\colon [a,b)\to \mathbb{R}</math>

będzie funkcją, która jest ograniczona i całkowalna w dowolnym przedziale <math>[a, b - \eta],</math> gdzie <math>0 < \eta < b - a,</math> oraz jest nieograniczona w każdym przedziale <math>[b - \eta, b)</math> na lewo od punktu <math>b</math> (punkt taki nazywany jest ''punktem osobliwym'' funkcji <math>f</math>). Granicę
: <math>\int\limits_a^bf(x)\mbox{d}x=\lim_{\eta\to 0}\int\limits_a^{b-\eta}f(x)\mbox{d}x</math>

nazywa się ''całką niewłaściwą'' funkcji <math>f</math> w przedziale <math>[a, b].</math> Gdy granica ta jest skończona, to mówi się, że całka ta jest zbieżna – w przeciwnym przypadku – tj. gdy jest nieskończona bądź nie istnieje, mówi się, że jest ona rozbieżna. Analogicznie określa się przypadek, gdy punkt <math>a</math> jest punktem osobliwym.

W przypadku, gdy oba punkty <math>a, b</math> są punktami osobliwymi, metoda definiowania jest analogiczna jak w podanej wyżej definicji całki <math>\textstyle\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{d}x,</math> tj. można wykorzystać granicę podwójną albo napisać, że
: <math>\int\limits_a^bf(x)dx=\int\limits_a^cf(x)dx+\int\limits_c^bf(x)\mbox{d}x,\ \ \ a<c<b.</math>

Analogicznie, z pomocą rozbicia przedziału, definiuje się całka o skończonej liczbie [[Punkt osobliwy|punktów osobliwych]] wewnątrz odpowiedniego przedziału. Tę samą metodę stosuje się do definiowania całki, w której i przedział jest nieskończony, i funkcja jest nieograniczona.

=== Warunkowa i bezwarunkowa zbieżność całki ===
Niech <math>f</math> będzie funkcją określoną na pewnym przedziale <math>(a, b)</math> poza, być może, skończoną liczbą punktów osobliwych. Wtedy całkę (niewłaściwą)
: <math>I=\int\limits_a^bf(x)\mbox{d}x</math>

nazywa się ''zbieżną bezwzględnie'', jeżeli całka
: <math>\int\limits_a^b|f(x)|\mbox{d}x</math>

istnieje i jest skończona. Gdy istnieje całka <math>I,</math> ale nie istnieje całka [[wartość bezwzględna|modułu]], całkę <math>I</math> nazywa się ''zbieżną warunkowo''.

Dla przykładu, całka
: <math>\int\limits_0^\infty\frac{\sin x}{x}\mbox{d}x=\frac{\pi}{2}</math>

jest warunkowo zbieżna. Wynika to z następującego kryterium porównywania z szeregiem, zastosowanym dla całki
: <math>\int\limits_0^\infty\frac{|\sin x|}{x}\mbox{d}x.</math>

== Kryteria zbieżności całek niewłaściwych ==
=== Badanie zbieżności szeregu ===
Całka niewłaściwa <math>\textstyle \int\limits_a^bf(x)\mbox{d}x</math> istnieje i jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu <math>(x_n)</math> punktów przedziału <math>[a, b],</math> gdzie
: <math>a=x_0<x_1<\ldots<x_n<\ldots< b</math>

oraz
: <math>\lim_{n\to \infty}x_n = b</math>

szereg liczbowy
: <math>\sum_{n=1}^\infty\, \int\limits_{x_{n-1}}^{x_n}f(x)\mbox{d}x</math>

jest zbieżny.

=== Kryterium porównawcze ===
Jeżeli funkcje
: <math>f,g\colon [a,\infty)\to \mathbb{R}</math>

są nieujemne oraz istnieje taka liczba <math>A \geqslant a,</math> że dla każdego <math>x \geqslant A</math> zachodzi nierówność <math>f(x) \leqslant g(x),</math> oraz całka <math>\textstyle \int\limits_a^\infty g(x)\mbox{d}x</math> jest zbieżna, to również całka <math>\textstyle\int\limits_a^\infty f(x)\mbox{d}x</math> jest zbieżna.

Powyższe kryterium można nieco wzmocnić i wypowiedzieć je w sposób następujący:

==== Kryterium asymptotyczne ====
Jeżeli istnieje granica
: <math>\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=K,</math>

to
* gdy <math>K < \infty,</math> ze zbieżności całki <math>\textstyle\int\limits_a^\infty g(x)\mbox{d}x</math> wynika zbieżność całki <math>\textstyle\int\limits_a^\infty f(x)\mbox{d}x</math> (a to, przez [[Prawo kontrapozycji|kontrapozycję]], jest równoważne temu, iż z rozbieżności drugiej całki wynika rozbieżność pierwszej),
* gdy <math>K > 0,</math> z rozbieżności całki <math>\textstyle\int\limits_a^\infty g(x)\mbox{d}x</math> wynika rozbieżność całki <math>\textstyle\int\limits_a^\infty f(x)\mbox{d}x</math> (czyli ze zbieżności drugiej wynika zbieżność pierwszej).

Ostatecznie, w przypadku, gdy <math>0 < K < \infty</math> obie całki są albo jednocześnie zbieżne, albo jednocześnie rozbieżne.

=== Kryterium [[Niels Henrik Abel|Abela]] ===
Załóżmy, że funkcje <math>f,g\colon [a,\infty)\to \mathbb{R}</math> są takie, że
: 1) <math>\int\limits_a^\infty f(x)dx</math> jest zbieżna;
: 2) funkcja <math>g(x)</math> jest monotoniczna i ograniczona.

Wówczas całka
: <math>\int\limits_a^\infty f(x)g(x)dx</math>

jest zbieżna.

=== Kryterium [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichleta]] ===
{{Osobny artykuł|kryterium Dirichleta zbieżności całek niewłaściwych}}
Załóżmy, że funkcja <math>f\colon [a,\infty)\to \mathbb{R}</math> jest całkowalna w każdym przedziale <math>[a,A]</math> oraz
: 1) istnieje taka liczba nieujemna <math>K,</math> że dla każdego <math>A</math>
:: <math>\Bigg|\int\limits_a^A f(x)dx\Bigg|\leqslant K;</math>
: 2) funkcja <math>g\colon [a,\infty)\to \mathbb{R}</math> jest zbieżna monotonicznie do <math>0</math> przy <math>x\to\infty.</math>

Wówczas całka
: <math>\int\limits_a^\infty f(x)g(x)dx</math>

jest zbieżna.

== Obliczanie całek za pomocą metod analizy zespolonej ==
Jeżeli całka jest zbieżna, to możemy ją próbować obliczyć za pomocą [[Analiza zespolona|analizy zespolonej]].

=== Całka funkcji wymiernej ===
Wszystkie funkcje wymierne <math>\tfrac{P(z)}{Q(z)},</math> których mianownik nie ma pierwiastków rzeczywistych, a licznik jest co najmniej o dwa stopnie niższy niż mianownik, można obliczyć metodami analizy na [[Liczby zespolone|liczbach zespolonych]].

W obliczeniach będziemy stosowali pojęcie [[Residuum funkcji holomorficznej|residuum funkcji]]. Jeżeli wewnątrz zamkniętej krzywej całkowania <math>\Gamma</math> znajdą się bieguny <math>z_1, z_2, \dots, z_n</math> funkcji <math>f</math> i ta funkcja jest [[funkcja holomorficzna|analityczna]] we wszystkich innych punktach obszaru ograniczonego tą krzywą, to wartość całki wyniesie:
: <math>\oint\limits_\Gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \mathrm{res}_{z_k}f(z),</math>

gdzie <math>\Gamma</math> to krzywa gładka, skierowana odwrotnie do ruchu wskazówek zegara.

Oznacza to, że całkę postaci
: <math>\lim_{R\to+\infty}\int\limits_{-R}^{+R}f(z)\,dz</math>

możemy rozpatrywać jako sumę całek od <math>-R</math> do <math>+R</math> wzdłuż osi rzeczywistej oraz po półokręgu o promieniu <math>R</math> przechodzącym przez punkty <math>+R,</math> <math>Ri,</math> <math>-R</math> i skierowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Kontynuując, można wykazać, że wartość tej całki będzie wynosiła:
: <math>\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx = 2\pi i\sum_{k=1}^N\mathrm{res}_{z_k}f(z)</math>

przy założeniu, że wszystkie punkty <math>z_1, z_2, \dots, z_N</math> znajdują się w górnej półpłaszczyźnie liczb zespolonych (ich część urojona jest większa od 0). Punkty leżące w dolnej półpłaszczyźnie liczb zespolonych ignorujemy.

=== Całka funkcji wymiernej z funkcjami trygonometrycznymi ===
{{Dopracować|sekcja|napisać tę sekcję tak, żeby było jasno, o co chodzi}}
Całki funkcji postaci <math>f(x)\sin ax</math> bądź <math>f(x)\cos ax</math> liczy się podobnie do całek z funkcji [[Liczby niewymierne|niewymiernych]]. Niezbędne jest jednak ich inne przekształcenie na całkę zespoloną:
: <math>\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\sin ax\,dx = \oint\limits_\Gamma e^{azi}f(z)\,dz = 2\pi i\sum_{k=1}^N\mathrm{res}_{z_k}e^{azi}f(z)</math>

bądź
: <math>\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\cos ax\,dx = \oint\limits_\Gamma e^{azi}f(z)\,dz = 2\pi i\sum_{k=1}^N\mathrm{res}_{z_k}e^{azi}f(z).</math>

== Przykłady ==
Przykładem całki na przedziale nieskończonym jest całka
: <math>\int\limits_1^{+\infty} \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{t\to\infty}\int\limits_1^t \frac{1}{x^2}\,dx.</math>

Obliczając całkę oznaczoną, mamy:
: <math>\lim_{t\to\infty}\int\limits_1^t \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{t\to\infty}\left(-\frac{1}{x}\right)\bigg|_1^t=\lim_{t\to\infty}\left(-\frac{1}{t}-\left(-\frac{1}{1}\right)\right)=1,</math>

i taka jest wartość szukanej całki.

Przykładem całki funkcji nieograniczonej jest całka
: <math>\int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\lim_{t\to0^+}\int\limits_t^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx.</math>

Obliczając całkę oznaczoną, mamy:
: <math>\lim_{t\to0^+}\int\limits_t^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\lim_{t\to0^+}\left(2\sqrt{x}\right)\bigg|_t^1=\lim_{t\to0^+}\left(2\sqrt{1}-2\sqrt{t}\right)=2,</math>

i taka jest wartość szukanej całki.

=== Całki występujące w definicji niektórych rozkładów prawdopodobieństwa ===
* <math>\int\limits_{-\infty}^\infty~e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \mbox{d}x = \sqrt{2\pi}\sigma</math> – całka [[Carl Friedrich Gauss|Gaussa]], występuje w [[rozkład Maxwella|rozkładzie Maxwella]].
* <math>\int\limits_0^\infty~x^\alpha e^{-x} \mbox{d}x = \Gamma(\alpha + 1)</math> – całka występująca w [[rozkład Boltzmanna|rozkładzie Boltzmanna]].
* <math>\int\limits_0^\infty~\frac{x^\alpha \mbox{d}x}{e^x - 1} = \Gamma(\alpha + 1) \zeta(\alpha + 1)</math> – całka występująca w [[statystyka Bosego-Einsteina|rozkładzie Bosego-Einsteina]].
* <math>\int\limits_0^\infty~\frac{x^\alpha \mbox{d}x}{e^x + 1} = \Gamma(\alpha + 1) \eta(\alpha + 1)</math> – całka występująca w [[Statystyka Fermiego-Diraca|rozkładzie Fermiego-Diraca]].

W tych przykładach
: <math>\alpha</math> – dowolna dodatnia [[liczby rzeczywiste|liczba rzeczywista]],
: <math>\Gamma(z)</math> – [[funkcja Γ|funkcja gamma Eulera]],
: <math>\zeta(z)</math> – [[Funkcja dzeta Riemanna|funkcja zeta Riemanna]],
: <math>\eta(z)</math> – [[funkcja η|funkcja eta Dirichleta]].

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Fichtenholz |imię = Grigorij Michajłowicz |autor link = Grigorij Fichtenholz |tytuł = Rachunek różniczkowy i całkowy |tom = 2 |miejsce = Warszawa |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |rok = 1966}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Leja |imię = Franciszek |autor link = Franciszek Leja |tytuł = Rachunek różniczkowy i całkowy |miejsce = Warszawa |wydawca = PWN |rok = 1976}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} Piotr Stachura, ''[https://www.youtube.com/watch?v=x8Oo2F6jqpg Wprowadzenie do całek niewłaściwych]'', kanał [[Khan Academy]] na [[YouTube]], 16 sierpnia 2017 [dostęp 2024-06-23].
* {{otwarty dostęp}} Helena Kazieko, ''[https://www.youtube.com/watch?v=OrtQo7BR0bk Całka niewłaściwa]'', kanał Nauka / Science [[Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie|SGGW]] na [[YouTube]], 7 maja 2020 [dostęp 2024-08-03].

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Całki|niewłaściwa]]