Tekst źródłowy strony Całka J

'''Całka J''' przedstawia sposób opisu pola naprężeń, a dokładniej – stanu energetycznego w strefie czoła pęknięcia. Teoretyczne podstawy zostały opracowane w 1967 przez Cherepanowa i w 1968 przez Jima Rice’a niezależnie. Udowodnili, że całka J jest niezależna od drogi całkowania.

== Dwuwymiarowa całka J ==
[[Plik:Integrale-J 2D.png|thumb|Łuk otwarty dla którego oblicza się wartość całki J]]
Dwuwymiarowa całka J była początkowo określana jako<ref name="Journal of Applied Mechanics">{{cytuj stronę |url = http://esag.harvard.edu/rice/015_Rice_PathIndepInt_JAM68.pdf |tytuł = A Path Independent Integral and the Approximate Analysis of Strain Concentration by Notches and Cracks |autor = J.R. Rice |opublikowany = Journal of Applied Mechanics |język = en |data dostępu = 2011-06-30}}</ref>
: <math>J := \int_\Gamma \left(W~dx_2 - \mathbf{t}\cdot\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial x_1}~ds\right),</math>

gdzie <math>W(x_1,x_2)</math> jest oznacza [[gęstość energii]] odkształcenia, <math>x_1, x_2</math> oznaczają współrzędne układu, <math>\mathbf{t} = \mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}</math> oznacza wektor sił powierzchniowych na krzywej <math>\Gamma</math> odpowiadającym jednostkowemu wektorowi <math>\mathbf{n}</math> zewnętrznej normalnej do <math>\Gamma,</math> <math>\sigma</math> oznacza [[tensor]] naprężeń Cauchy’ego, a <math>\mathbf{u}</math> wektor przemieszczenia. Gęstość energii odkształcenia jest dany przez
: <math>W = \int_0^\epsilon \boldsymbol{\sigma}:d\boldsymbol{\epsilon} ~;~~
  \boldsymbol{\epsilon} = \tfrac{1}{2}\left[\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u}+(\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u})^T\right].</math>

Dla materiału liniowo-sprężystego, gęstość energii odkształcenia w punkcie upraszcza się do:
: <math>W=\frac{1}{2}\sigma_{ij}\epsilon_{ij}.</math>

[[Plik:J integralPathIndep.png|thumb|Kontur zamknięty, na którym wartość całki J się zeruje]]
Całka J wokół czoła pęknięcia jest często wyrażana w bardziej ogólnej formie ([[Konwencja sumacyjna Einsteina|w konwencji Einsteina]]) jako
: <math>J_i := \lim_{\epsilon\to 0} \oint_{\Gamma_\epsilon} \left(W n_i - n_j\sigma_{jk}~\frac{\partial u_k}{\partial x_i}\right) d\Gamma</math>

gdzie <math>J_i</math> oznacza składową całki J dla otwartej szczeliny w kierunku <math>x_i</math> a <math>\epsilon</math> jest małym obszarem wokół czoła szczeliny.

Używając [[Twierdzenie Greena|twierdzenia Greena]], można pokazać, że całka przyjmuje wartość 0.

== Zobacz też ==
* [[mechanika pękania]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

[[Kategoria:Wytrzymałość materiałów]]
[[Kategoria:Całki]]