Tekst źródłowy strony Całka Daniella-Stone’a

{{Spis treści}}
'''Całka Daniella-Stone’a''' – model konstrukcji całki zaproponowany w [[1918]] przez [[Percy John Daniell|Daniella]] i [[Marshall Stone|Stone’a]] jako uogólnienie teorii [[Całka Riemanna|całki Riemanna]]. Obecnie większą popularnością wśród matematyków cieszy się model zaproponowany przez [[Henri Lebesgue|Lebesgue’a]]. Względną zaletą modelu Daniella-Stone’a jest brak bezpośredniego odwołania do aparatu [[Teoria miary|teorii miary]].

== Definicja ==
Niech <math>E</math> będzie [[Elementarna rodzina funkcji|elementarną rodziną funkcji]]. [[Funkcjonał]] <math>\mu\in E^\star</math> nazywamy '''dodatnim''', jeśli dla każdej <math>E\ni f\geqslant 0</math> zachodzi <math>\mu(f)\geqslant 0.</math>

[[Forma liniowa|Funkcjonał liniowy]], dodatni, [[Funkcjonał monotonicznie ciągły|monotonicznie ciągły]], określony na pewnej elementarnej rodzinie funkcji <math>E</math> nazywamy '''całką Daniella-Stone’a'''. Funkcje z rodziny <math>E</math> nazywamy '''funkcjami elementarnymi''' tej całki.

Zamiast <math>\mu(f)</math> całkę Daniella-Stone’a oznaczamy także
:: <math>\int fd\mu,\; \int\limits_Xf(x)d\mu(x),\; \operatorname{(D)}\int fd\mu.</math>

== Przykłady ==
* Niech <math>X</math> będzie przedziałem liczbowym postaci <math>[a,b];</math> E=C([a,b]), tzn. <math>E</math> jest [[Przestrzeń funkcyjna|przestrzenią funkcji]] ciągłych na <math>[a,b].</math> W przypadku, gdy
:: <math>\mu(f):=\int\limits_{[a,b]}f(x)dx,</math>
: to całka Daniella-Stone’a jest po prostu całką Riemanna.
* Niech <math>X</math> będzie [[Przestrzeń topologiczna|przestrzenią topologiczną]] [[Przestrzeń lokalnie zwarta|lokalnie zwartą]] oraz niech <math>E=C_0(X)</math> oznacza zbiór funkcji [[Funkcja ciągła|ciągłych]] o zwartych [[Nośnik funkcji|nośnikach]] na <math>X.</math> Jeśli <math>\mu</math> jest funkcjonałem liniowym, dodatnim i ciągłym przy [[Zbieżność jednostajna|zbieżności niemal jednostajnej]], to na mocy [[Twierdzenie Diniego#Uogólnienia|twierdzenia Diniego]] <math>\mu</math> jest [[Funkcjonał monotonicznie ciągły|monotonicznie ciągły]], czyli będzie całką Daniella-Stone’a. Całkę tę nazywamy [[Całka Radona|całką Radona]] na przestrzeni lokalnie zwartej <math>X.</math>
* W poprzednim przykładzie przyjmijmy <math>X=\mathbb{N}.</math> Niech <math>C_0(\mathbb{N})</math> będzie przestrzenią [[Ciąg (matematyka)|ciągów]] o skończonej liczbie wyrazów niezerowych. Dla <math>f\in C_0(\mathbb{N})</math> można przyjąć
:: <math>\mu(f):=\sum_{n=1}^\infty f(n).</math>
* Niech <math>X</math> będzie zbiorem niepustym oraz <math>E</math> niech będzie rodziną wszystkich funkcji rzeczywistych na <math>X.</math> Ponadto niech dany będzie punkt <math>x_0</math> ze zbioru <math>X.</math> Dla <math>f\in E</math> można zdefiniować <math>\mu(f):=f(x_0);</math> inne oznaczenie (por. [[delta Diraca]]), to
:: <math>\mu(f)=\delta_{x_0}(f).</math>

== Zobacz też ==
* [[całka Lebesgue’a]]
* [[twierdzenie Riesza-Skorochoda]]

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Maurin |imię = Krzysztof |autor link = Krzysztof Maurin |tytuł = Analiza – Część I – Elementy |miejsce = Warszawa |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |rok = 1976}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Daniell |imię = Percy John |tytuł = A general form of integral |url = https://archive.org/details/jstor-1967495 |wydawca = Annals of Mathematics 19 |rok = 1918}}

{{Całki}}

[[Kategoria:Całki|Daniella-Stone’a]]