Tekst źródłowy strony Biegun (analiza zespolona)

[[Plik:Gamma abs.png|mały|Bieguny [[funkcja Γ|funkcji Gamma]]|249x249px]]

'''Biegun''' [[funkcja meromorficzna|funkcji meromorficznej]] <math>f(z)</math> – taki [[punkt osobliwy]] <math>z=a</math> funkcji meromorficznej, w którego [[Otoczenie i sąsiedztwo|otoczeniu]] funkcja ta nie jest [[funkcja ograniczona|ograniczona]], zaś w punkcie <math>z=a</math> przyjmuje wartość nieskończoną, tj.
: <math>\lim\limits_{z\to a} f(z)=+\infty \quad</math> lub <math>\quad \lim\limits_{z\to a} f(z)=-\infty</math>

Ponadto: a). jeśli część osobliwa rozwinięcia w [[szereg Laurenta]] wokół punktu <math>z=a</math> składa się z <math>k< \infty</math> wyrazów, to biegun ten jest rzędu <math>k</math> b). jeśli <math>k = \infty</math>, to punkt <math>z=a</math> jest punktem istotnie osobliwym, tzn. nie istnieje granica <math>\lim\limits_{z\to a} f(z)</math> 

'''<u>Uwaga:</u>''' Brak granicy występuje, gdy funkcja <math>f(z)</math> przyjmuje różne wartości przy zbliżaniu się do punktu osobliwego. Jedną z możliwości jest rozbieżność analogiczna jak funkcji rzeczywistych, gdzie istnieją różne granice lewo- i prawostronna; np. funkcja <math>f(x)=\tfrac{1}{x}</math> nie ma granicy w punkcie x=0, gdyż<math>\lim\limits_{x\to 0^-} \tfrac{1}{x}=-\infty </math> , zaś <math>\lim\limits_{x\to 0^+} \tfrac{1}{x}=+\infty </math>

== Twierdzenia o biegunach i zerach funkcji ''f'' oraz 1/''f'' ==
'''Tw. 1''' Jeśli punkt a jest biegunem <math>m</math>-krotnym funkcji <math>f(z)</math>, to funkcja <math>g(z)=\tfrac{1}{f(z)}</math> jest również [[Funkcja meromorficzna|meromorficzna]] i w punkcie <math>z=a</math> posiada zero <math>m</math>-krotne. Odwrotnie, jeśli punkt <math>z=a</math> jest zerem <math>m</math>-krotnym funkcji<math>f(z)</math>, to funkcja w tym punkcie posiada biegun <math>m</math>-krotny.

'''Tw. 2''' Jeśli punkt <math>z=a</math> jest biegunem <math>m</math>-krotnym funkcji <math>f(z)</math> to funkcja <math>g(z)</math> jest również [[funkcja meromorficzna|meromorficzna]] i w punkcie <math>z=a</math> posiada zero <math>m</math>-krotne.

== Przykłady ==
'''Przykład 1:''' Funkcja '''<math>f(z)=\operatorname{tg}(z)</math>'''
: w punktach <math>z=\pi(k-\tfrac12)</math> ma bieguny rzędu 1.
'''Przykład 2''': Funkcja 
: <math>f(z)
=\frac{1}{2-z}+\frac{1}{(z-1)^2}</math>
a) <u>Bieguny</u>: w punkcie <math>z = 1</math> ma biegun rzędu 2, natomiast w punkcie <math>z = 2</math> ma biegun jednokrotny. 

b) <u>Zera</u>: Aby obliczyć zera tej funkcji, sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika; po przekształceniach otrzymamy:
: <math>f(z)
=\frac{z^2-3z+3}{(2-z)(z-1)^2}</math>
Rozwiązując równanie kwadratowe, występujące w liczniku, otrzymamy
: <math>f(z)
=\frac{(z-z_1)(z-z_2)}{(2-z)(z-1)^2}</math>
gdzie:
: <math>z_1
=\frac{3+\sqrt{3}i }{2}</math>, <math>z_2
=\frac{3-\sqrt{3}i }{2}</math> - zera funkcji <math>f(z)</math>
c) <u>Funkcja odwrócona:</u> Postać funkcji <math>g(z)=\frac{1}{f(z)}</math> łatwo znaleźć zamieniając miejscami licznik i mianownik funkcji <math>f(z)</math>
: <math>g(z)
=\frac{(2-z)(z-1)^2}{(z-z_1)(z-z_2)}</math>
Stąd widać, że funkcja <math>g(z)</math> ma zera tam, gdzie funkcja <math>f(z)</math> ma bieguny i odwrotnie - tam, gdzie funkcja <math>f(z)</math> ma bieguny, tam funkcja <math>f(z)</math> ma zera. Krotności zer i odpowiadających im biegunów obu funkcji są identyczne.

== Bibliografia ==

* W. Żakowski, W. Leksiński, Matematyka cz. IV, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1978, Rozdział III Funkcje zmiennej zespolonej, s. 233-350. ISBN 978-83-01-19359-1

[[Kategoria:Analiza zespolona]]