Tekst źródłowy strony Belka na podłożu sprężystym

'''Belka na podłożu sprężystym''' może stanowić model obliczeniowy dla takich elementów konstrukcyjnych jak szyny kolejowe i tramwajowe oraz ławy fundamentowe.

== Wstęp ==
Belki takie o stałej sztywności giętnej <math>(EJ_y\equiv \mathrm{const})</math> mogą być obliczane na podstawie [[zginanie|równania różniczkowego]] ich linii ugięcia <math>w(x)</math> o postaci<ref>S. Piechnik, ''Wytrzymałość materiałów'', PWN, Warszawa 1980, s. 328.</ref>{{r|Suw}}
: <math>EJ_y\frac{d^4w(x)}{dx^4} = q(x) - k(x)w(x), \qquad{}</math> (a)

gdzie przez <math>k(x)\,\mathrm{\left[\tfrac{kG}{m^2}\right]}</math> oznaczono stałą charakteryzującą sprężystość podłoża. Taki model podłoża nazywany jest ''podłożem winklerowskim'' od nazwiska Winklera, który taki model zaproponował{{r|Tim}}.

Można wykazać, że rozwiązaniem ogólnym równania (a) jest funkcja
: <math>\begin{align}
w(x) &= e^{\alpha x}(A\sin{\alpha x} + B\cos{\alpha x}) \\[1ex]
     &+ e^{-\alpha x}(C\sin{\alpha x} + D\cos{\alpha x}),
\end{align}\qquad{}</math> (b)

gdzie <math>\textstyle{\alpha = \sqrt[4]\frac{k}{4EJ_y}}\, \left[\tfrac{1}{\mathrm m}\right],</math> przy czym stałe <math>A,B,C,D</math> zostają określone przez warunki brzegowe zagadnienia.

== Przykład liczbowy 1 ==
Rozważmy belkę nieskończenie długą, którą może być np. szyna tramwajowa. Obciążeniem belki jest pionowa siła skupiona <math>P.</math> Przyjmiemy układ współrzędnych <math>0xz</math> w punkcie przyłożenia siły. W odległości nieskończonej możemy przyjąć, że
: <math>\lim_{x\to\infty}w(x) = 0,\quad \lim_{x\to\infty}w^'(x) = 0. \qquad{}</math> (c)

Stąd na podstawie (c) otrzymujemy:
: <math>A = B = 0.</math>

Biorąc pod uwagę symetryczne działanie obciążenia, możemy przyjąć, że
: <math>\lim_{x\to 0+}w^'(x) = 0. \qquad{}</math> (d)

Z symetrii wynika również, że odpór gruntu z prawej połowy belki musi być równy <math>\frac{P}{2}</math> skąd
: <math>Q(0+) = -\frac{P}{2}\quad\to\quad EJ_yw^{'''}(0+) = -\frac{P}{2}. \qquad{}</math> (e)

Na podstawie (d) i (e) otrzymujemy
: <math>C = D = \frac{P}{8EJ_y\alpha^3.}</math>

Mamy więc dla <math>x > 0</math>

: <math>w(x) = \frac{P}{8EJ_y\alpha^3}e^{-\alpha x}(\sin\alpha x + \cos\alpha x),</math>

: <math>w^'(x) = \frac{P}{4EJ_y\alpha^2}e^{-\alpha x}\sin\alpha x,</math>

: <math>M_y(x) = \frac{P}{4\alpha}e^{-\alpha x}(\sin\alpha x - \cos\alpha x),</math>

: <math>Q_z(x) = -\frac{P}{2}e^{-\alpha x}\cos\alpha x.</math>

== Przykład liczbowy 2 ==
Tę samą belkę co w przykładzie 1 obciążymy prawoskrętnym momentem skupionym <math>M</math> przyłożonym w punkcie <math>x=0.</math> Na podstawie (c) otrzymuje się <math>A = B = 0.</math> Biorąc pod uwagę symetrię geometrii układu i antysymetrię obciążenia względem osi <math>0z</math> możemy przyjąć, że
: <math>\lim_{x\to 0+}w(x) = 0. \qquad{}</math> (f)

skąd wynika, że <math>D = 0.</math>

Mamy również
: <math>M(0+) = \frac{M}{2}\quad\to\quad EJ_yw^{''}(0+) = \frac{M}{2}. \qquad{}</math> (g)

Na podstawie (f) i (g) otrzymuje się <math>C = -\frac{M}{4EJ_y\alpha^2}.</math>
Mamy więc dla <math>x>0</math>
: <math>w(x) = -\frac{M}{4EJ_y\alpha^2}e^{-\alpha x}\sin\alpha x,</math>

: <math>w(x)^' = \frac{M}{4EJ_y\alpha}e^{-\alpha x}(\sin\alpha x - cos\alpha x),</math>

: <math>M_y(x) = \frac{M}{2}e^{-\alpha x}\cos\alpha x,</math>

: <math>Q_z(x) = -\frac{M\alpha}{2}e^{-\alpha x}(\sin\alpha x + \cos\alpha x).</math>

== Przypisy ==
{{Przypisy|
<ref name="Tim">С.Р. Тимошенко, Сопротивление материалов, T. 2, стр. 11, Издательство „НАУҜА”, Мосҝва, 1965.</ref>
<ref name="Suw">L. Suwalski, ''Belki na sprężystym podłożu - zasady obliczania i linie wpływowe'', Biuro Studiów i Projektów Typowych Budownictwa Przemysłowego, Warszawa 1952.</ref>
}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{Cytuj stronę | url = http://limba.wil.pk.edu.pl/~jg/wyklady_wm/dzienne_1_stop/winkler/bnsp_teo.pdf | tytuł = Belka na podłożu sprężystym 1 | opublikowany = limba.wil.pk.edu.pl | archiwum = https://web.archive.org/web/20150529015121/http://limba.wil.pk.edu.pl/~jg/wyklady_wm/dzienne_1_stop/winkler/bnsp_teo.pdf | zarchiwizowano = 2015-05-29}}
* [http://limba.wil.pk.edu.pl/~az/uzp/bnsp.pdf Belka na podłożu sprężystym 2]
* [http://web.archive.org/web/20160826220243/http://wb.po.opole.pl/zadania/fm/2.9_Belki_na_podlozu_sprezystym.pdf Belka na podłożu sprężystym 3]
* [http://web.archive.org/web/20150616033738/http://kmm.p.lodz.pl:80/dydaktyka/uzupeln/belka_spr_podl.pdf Belka na podłożu sprężystym 4]

[[Kategoria:Wytrzymałość materiałów]]