Tekst źródłowy strony Arytmetyka liczb kardynalnych

'''Arytmetyka liczb kardynalnych''' – dział [[teoria mnogości|teorii mnogości]] zajmujący się [[moc zbioru|liczbami kardynalnymi]] i działaniami na nich.

Arytmetyka liczb kardynalnych znacznie różni się od arytmetyki [[Liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] – zarówno rozważane działania mają inne własności, jak i stawiane pytania są inne. Podstawową różnicą jest jednak fakt, że wiele stwierdzeń dotyczących działań na liczbach kardynalnych jest niezależnych od standardowych aksjomatów teorii mnogości ([[aksjomaty Zermela-Fraenkla]]).

W dalszej części tego artykułu zakładamy aksjomaty Zermela-Fraenkla (bez [[aksjomat wyboru|aksjomatu wyboru]] niektóre z definicji należy sformułować inaczej i wiele z prezentowanych faktów nie jest prawdziwych).

== Definicje ==
=== Pojęcia wstępne ===
* [[Liczby porządkowe|Liczba porządkowa]] <math>\alpha</math> jest '''początkową liczbą porządkową''' jeśli <math>\alpha</math> '''nie''' jest [[moc zbioru|równoliczna]] z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Początkowe liczby porządkowe nazywamy '''liczbami kardynalnymi'''.
* Przy założeniu [[aksjomaty Zermela-Fraenkla|teorii '''ZFC''']] każdy zbiór ''A'' jest równoliczny z pewną liczbą kardynalną – liczba ta jest nazywana '''mocą zbioru ''A''''' i jest oznaczana przez <math>|A|.</math>
* Skończone liczby kardynalne to liczby naturalne: 0, 1, 2, ..., a najmniejsza nieskończona liczba kardynalna to <math>\aleph_0,</math> moc zbioru wszystkich liczb naturalnych.
* '''Współkońcowość''' nieskończonej liczby kardynalnej <math>\kappa</math> to najmniejsza liczba kardynalna <math>\mu</math> taka, że każdy zbiór mocy <math>\kappa</math> może być przedstawiony jako [[suma zbiorów|suma]] <math>\mu</math> wielu zbiorów mocy mniejszej niż <math>\kappa{:}</math>
: <math>\mathrm{cf}(\kappa)=\min\{\mu\in {\mathbf{CN}}: \kappa=\bigcup\limits_{\alpha<\mu} A_\alpha</math> dla pewnych zbiorów <math>A_\alpha\subseteq\kappa</math> takich, że <math>|A_\alpha|<\kappa</math> (dla wszystkich <math>\alpha<\mu</math>) <math>\}.</math>
: Jeśli <math>\mathrm{cf}(\kappa)=\kappa</math> to mówimy że <math>\kappa</math> jest [[Regularna liczba kardynalna|'''regularną liczbą kardynalną''']]. Liczby kardynalne które nie są regularne nazywamy '''liczbami singularnymi'''.
* '''Następnik liczby kardynalnej <math>\kappa</math>''' to pierwsza liczba kardynalna większa od <math>\kappa</math> (jest on oznaczany przez <math>\kappa^+</math>).

=== Działania dwuargumentowe ===
Określamy następujące [[działanie dwuargumentowe|działania dwuargumentowe]] na liczbach kardynalnych. Niech <math>\kappa,\mu</math> będą liczbami kardynalnymi.
* '''Dodawanie liczb kardynalnych''' – sumą liczb <math>\kappa</math> i <math>\mu</math> nazywamy moc sumy rozłącznych kopii <math>\mu</math> i <math>\kappa{:}</math>
: <math>\mu + \kappa = |(\mu\times\{0\}) \cup (\kappa\times\{1\})|.</math>
* '''Mnożenie liczb kardynalnych''' – iloczynem liczb <math>\kappa</math> i <math>\mu</math> nazywamy moc [[iloczyn kartezjański|iloczynu kartezjańskiego]] zbiorów <math>\kappa</math> i <math>\mu{:}</math>
: <math>\kappa \cdot \mu = \vert \kappa \times \mu \vert.</math>
* '''Potęgowanie liczb kardynalnych''' – przez <math>\kappa^\mu</math> rozumiemy moc zbioru wszystkich funkcji z <math>\mu</math> w <math>\kappa{:}</math>
: <math>\kappa^\mu = | {}^\mu \kappa |.</math>
* Definiujemy również '''słabą potegę''' <math>\kappa^{<\mu}</math> jako
: <math>\kappa^{<\mu}=\sup\{\kappa^\lambda:\lambda\in {\mathbf{CN}}\ \wedge\ \lambda<\mu\}.</math>

=== Działania nieskończone ===
Niech <math>\{\kappa_i:i\in I\}</math> będzie rodziną indeksowaną liczb kardynalnych. Określamy
: '''sumę''' <math>\sum\limits_{i\in I}\kappa_i=\left|\bigcup\{\kappa_i\times\{i\}:i\in I\}\right|</math> oraz
: '''produkt''' <math>\prod\limits_{i\in I}\kappa_i=\left|\left\{f: f:I\longrightarrow\bigcup\limits_{i\in I}\kappa_i\ \wedge\ (\forall i\in I)(f(i)\in\kappa_i)\right\}\right|.</math>

== Przykłady wyników klasycznych ==
* Dla każdych niezerowych liczb kardynalnych <math>\kappa,\mu,\lambda</math> mamy:
# Jeśli <math>\aleph_0\leqslant\kappa,</math> to <math>\kappa+\mu=\max(\kappa,\mu)=\kappa\cdot\mu.</math>
# Jeśli <math>1\leqslant\kappa\leqslant\mu,</math> to <math>\kappa^\lambda\leqslant \mu^\lambda</math> oraz <math>\lambda^\kappa\leqslant \lambda^\mu.</math>
# Jeśli <math>1<\kappa<\aleph_0\leqslant\lambda,</math> to <math>\kappa^\lambda=\lambda^\lambda</math> oraz <math>\lambda^\kappa=\lambda.</math>
# <math>2^\kappa</math> jest mocą rodziny wszystkich podzbiorów <math>\kappa.</math> Jeśli <math>2\leqslant \mu\leqslant \kappa</math> oraz <math>\kappa</math> jest nieskończona, to <math>\kappa^\mu=\left|\left\{A\subseteq\kappa: |A|=\mu\right\}\right|</math> oraz <math>\kappa^{<\mu}=\left|\left\{A\subseteq\kappa:|A|<\mu\right\}\right|.</math>
# <math>(\kappa^\mu)^\lambda=\kappa^{\mu\cdot\lambda},</math> <math>\kappa^\mu\cdot \kappa^\lambda=\kappa^{\mu+\lambda},</math> i <math>(\kappa\cdot\mu)^\lambda=\kappa^\lambda\cdot\mu^\lambda</math>
# Jeśli <math>\kappa,\mu</math> są nieskończone, to <math>(\kappa^+)^\mu=\kappa^+\cdot \kappa^\mu</math> (twierdzenie <!-- o następnikach?? następnikowe? --> [[Felix Hausdorff|Hausdorffa]]).
# Jeśli <math>\kappa</math> jest nieskończone, to <math>\kappa<\kappa^{\mathrm{cf}(\kappa)}</math> oraz <math>\kappa<\mathrm{cf}(2^\kappa).</math>

* Przypuśćmy, że <math>\{\kappa_i:i\in I\},</math> <math>\{\mu_i:i\in I\}</math> są rodzinami niezerowych liczb kardynalnych, <math>I\neq\emptyset.</math>
# <math>\sum\limits_{i\in I}\kappa_i=\max\left(|I|,\sup\{\kappa_i:i\in I\}\right).</math> Jeśli więc <math>|I|\leqslant \sup\{\kappa_i:i\in I\}</math> to <math>\sum\limits_{i\in I}\kappa_i=\sup\{\kappa_i:i\in I\}.</math> Ostatnia równość zachodzi w szczególności gdy <math>\kappa_i\neq\kappa_j</math> dla różnych <math>i,j\in I.</math>
# Jeśli <math>\kappa_i<\mu_i</math> dla wszystkich <math>i\in I,</math> to <math>\sum\limits_{i\in I}\kappa_i<\prod\limits_{i\in I}\mu_i</math> (twierdzenie [[Gyula König|Königa]]).

== GCH i SCH ==
* [[Hipoteza continuum|'''Uogólniona hipoteza continuum''']] ('''GCH''') to zdanie stwierdzające, że ''dla każdej liczby kardynalnej <math>\kappa</math> zachodzi <math>2^\kappa=\kappa^+</math>''. Przy założeniu GCH arytmetyka kardynalna bardzo się upraszcza:
: Załóżmy '''GCH'''. Wówczas dla każdych liczb kardynalnych <math>\kappa\geqslant 2</math> oraz <math>\lambda\geqslant\aleph_0</math> mamy

{| align="center"  |
|-
| || || &nbsp;&nbsp; || <math>\kappa</math> || || jeśli || || <math>\lambda<\mathrm{cf}(\kappa),</math> || || || &nbsp;&nbsp; || <math>\kappa</math> || || jeśli || || <math>\lambda\leqslant\mathrm{cf}(\kappa),</math> ||
| align=center|
|-
| || <math>\kappa^\lambda=</math> || &nbsp;&nbsp; || <math>\kappa^+</math> || || jeśli || || <math>\mathrm{cf}(\kappa)\leqslant \lambda<\kappa,</math> || &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; oraz &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>\kappa^{<\lambda}=</math> || &nbsp;&nbsp; || <math>\kappa^+</math> || || jeśli || || <math>\mathrm{cf}(\kappa)<\lambda\leqslant\kappa^+,</math>
| align=center|
|-
| || || &nbsp;&nbsp; || <math>\lambda^+</math> || || jeśli || || <math>\kappa\leqslant\lambda,</math> || || || &nbsp;&nbsp; || <math>\lambda</math> || || jeśli || || <math>\kappa^+<\lambda.</math> ||
|}

* '''Hipoteza liczb singularnych''' ([[język angielski|ang.]] ''singular cardinal hypothesis'', '''SCH''') to zdanie stwierdzające, że ''dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej <math>\kappa,</math> jeśli <math>2^{\mathrm{cf}(\kappa)}<\kappa</math> to <math>\kappa^{\mathrm{cf}(\kappa)}=\kappa^+</math>''. Przy założeniu '''SCH''', potęgi liczb kardynalnych są wyznaczone przez funkcję <math>\kappa\mapsto 2^\kappa.</math>

: Załóżmy '''SCH'''. Wówczas dla każdych nieskończonych liczb kardynalnych <math>\kappa,\lambda</math> mamy

{| align="center"  |
|-
| || || &nbsp;&nbsp; || <math>\kappa</math> || || jeśli || || <math>2^\lambda<\kappa</math> oraz <math>\lambda<\mathrm{cf}(\kappa),</math> ||
| align=center|
|-
| || <math>\kappa^\lambda=</math> || &nbsp;&nbsp; || <math>\kappa^+</math> || || jeśli || || <math>2^\lambda<\kappa</math> oraz <math>\mathrm{cf}(\kappa)\leqslant \lambda,</math> ||
| align=center|
|-
| || || &nbsp;&nbsp; || <math>2^\lambda</math> || || jeśli || || <math>\kappa\leqslant2^\lambda.</math> ||
|}

: Ponadto, jeśli <math>\kappa</math> jest liczbą singularną to
:: (a) jeśli dla pewnej liczby kardynalnej <math>\mu<\kappa</math> mamy iż <math>(\forall\lambda\in [\mu,\kappa))(2^\lambda=2^\mu),</math> to <math>2^\kappa=2^{<\kappa},</math>
:: (b) jeśli założenie punktu (a) nie jest spełnione, to <math>2^\kappa=\left(2^{<\kappa}\right)^+.</math>
* Warto zauważyć, że '''GCH''' jest niezależne od '''ZFC''' (czyli nie można tego zdania udowodnić, ale nie można też udowodnić jego zaprzeczenia). Łatwo można się przekonać, że '''GCH''' implikuje '''SCH'''. Ciekawym{{według kogo|data=2019-03}} wynikiem odkrytym{{przez kogo|data=2019-03}} niedawno{{kiedy|data=2019-03}} jest, że [[PFA (aksjomat)|PFA]] również implikuje '''SCH'''. Naruszenia '''SCH''' związane są z [[duże liczby kardynalne|dużymi liczbami kardynalnymi]].

== Przykłady wyników zaawansowanych ==
* Rozwijając metodę [[forsing]]u, w 1970 roku William Easton<ref>Easton, William B.: ''Powers of regular cardinals''. „Ann. Math. Logic” 1 (1970), s. 139–178.</ref> udowodnił następujące twierdzenie. Przypuśćmy, że '''F''' jest rosnącą funkcją określoną na wszystkich regularnych liczbach kardynalnych której wartościami są nieskończone liczby kardynalne i taką, że <math>\kappa<\mathrm{cf}({\mathbf{F}}(\kappa))</math> dla wszystkich regularnych <math>\kappa.</math> Wówczas (przy założeniu, że ZFC jest niesprzeczne) jest niesprzecznym z '''ZFC''', że <math>2^\kappa={\mathbf{F}}(\kappa)</math> dla wszystkich regularnych liczb kardynalnych <math>\kappa.</math>
* Jeśli <math>\kappa</math> jest [[liczba mierzalna|liczbą mierzalną]] oraz <math>2^\lambda=\lambda^+</math> dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej <math>\lambda<\kappa,</math> to również <math>2^\kappa=\kappa^+.</math>
* Jeśli zbiór <math>\{\alpha<\omega_1:\aleph_\alpha^{\aleph_1}<\aleph_{\alpha+\alpha}\}</math> jest [[zbiór stacjonarny|stacjonarny]] w <math>\omega_1,</math> to <math>\aleph_{\omega_1}^{\aleph_1}<\aleph_{\omega_1+\omega_1}.</math>
* Jeśli <math>\aleph_1\leqslant\mathrm{cf}(\kappa)<\kappa</math> oraz zbiór <math>\{\mu<\kappa:2^\mu=\mu^+\}</math> jest stacjonarny w <math>\kappa,</math> to <math>2^\kappa=\kappa^+.</math>
* W latach 90. XX wieku [[Saharon Szelach]]<ref>Shelah, Saharon: ''Cardinal arithmetic.'' „Oxford Logic Guides”, 29. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1994. {{ISBN|0-19-853785-9}}.</ref> rozwinął [[Teoria PCF|teorię PCF]], która stała się jednym z głównych kierunków badań we współczesnej arytmetyce liczb kardynalnych. Wyniki tej teorii wykazują, że pomimo dużej kolekcji twierdzeń niezależnościowych, wciąż można dowieść wielu twierdzeń w ZFC, o ile zadajemy właściwe pytania. Z wyników teorii pcf można wywnioskować nowe prawa klasycznej arytmetyki liczb kardynalnych, np. że <math>\aleph_\omega^{\aleph_0}\leqslant 2^{\aleph_0}+\aleph_{\omega_4}.</math>
* W głębszym zrozumieniu arytmetyki liczb kardynalnych pomoże książka [[Wojciech Guzicki|Wojciecha Guzickiego]] i [[Paweł Zbierski|Pawła Zbierskiego]]<ref>Guzicki, Wojciech; Zbierski, Paweł: ''Podstawy teorii mnogości''. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1978.</ref> lub monografia [[Thomas Jech|Thomasa Jecha]]<ref>Jech, Thomas: ''Set theory''. The third millennium edition. „Springer Monographs in Mathematics”. Springer-Verlag, Berlin, 2003. {{ISBN|3-540-44085-2}}.</ref> lub monografia M. Holza, K. Steffensa i E. Weitza<ref>Holz, M.; Steffens, K.; Weitz, E.: ''Introduction to cardinal arithmetic''. „Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher”. Birkhäuser Verlag, Basel, 1999. {{ISBN|3-7643-6124-7}}.</ref>

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

{{Liczby kardynalne}}
{{Podstawy matematyki}}
{{Działy arytmetyki}}
{{Działy matematyki}}

[[Kategoria:Liczby kardynalne]]