Tekst źródłowy strony Analityczna teoria liczb

[[Plik:Riemann-Zeta-Func.png|mały|Wartości funkcji <math>\zeta</math> przedstawione za pomocą [[Technika kolorowania dziedziny|techniki kolorowania dziedziny]]]]
'''Analityczna teoria liczb''' w matematyce jest częścią [[Teoria liczb|teorii liczb]] zajmującą się zastosowaniami metod [[Analiza matematyczna|analizy matematycznej]] w celu rozwiązania problemów dotyczących liczb całkowitych<ref name=":0">{{Cytuj |autor = Tom M. Apostol |tytuł = Introduction to Analytic Number Theory |czasopismo = Undergraduate Texts in Mathematics |data = 1976 |data dostępu = 2023-08-11 |issn = 0172-6056 |doi = 10.1007/978-1-4757-5579-4}}</ref>.

Głównymi obiektami (lub narzędziami) badań analitycznej teorii liczb są [[Funkcja dzeta Riemanna|funkcja zeta Riemanna]] oraz, zdefiniowane jako o ogólniejsza klasa, [[Funkcja L Dirichleta|funkcje ''L'' Dirichleta]] (lub jeszcze ogólniej – [[Funkcja L|funkcje ''L'']])<ref name=":0" /><ref name=":1">{{Cytuj |autor = Henryk Iwaniec, Emmanuel Kowalski |tytuł = Analytic Number Theory |data = 2004-06-08 |data dostępu = 2023-08-14 |isbn = 978-0-8218-3633-0 |opis = Colloquium Publications |miejsce = Providence, Rhode Island |wydawca = American Mathematical Society |doi = 10.1090/coll/053}}</ref>. Za prekursora tej dziedziny postrzegany jest [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]], który w 1837 r. udowodnił [[Twierdzenia Dirichleta o ciągach arytmetycznych|twierdzenie o rozmieszczeniu liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych]]<ref name=":0" />.

== Klasyfikacja i podział ==
Analityczną teorię liczb można ogólnie zdefiniować dwojako,

* w zakresie narzędzi, jako nauka korzystająca z analizy rzeczywistej i zespolonej, rozwiązująca problemy teorii liczb<ref name=":0" />;
* w zakresie badań, jako nauka wypracowująca szacowania i przybliżenia liczebności zbiorów rozważanych w teorii liczb<ref>{{Cytuj |autor = Andrew Granville |tytuł = Analytic number theory |czasopismo = The Princeton Companion to Mathematics |data = 2008 |isbn = 978-0-691-11880-2 |opublikowany = Princeton University Press |język = en}}</ref>.

Analityczną teorię liczb zwykle dzieli się na poddziały:
* [[Multiplikatywna teoria liczb|multiplikatywną teorię liczb]] (badającą obiekty takie jak [[Funkcja dzeta Riemanna|funkcja zeta Riemanna]], do której najbardziej znanych wyników należy [[twierdzenie o liczbach pierwszych]]);
* [[Addytywna teoria liczb|addytywną teorię liczb]] (zajmującą się np. [[Problem Waringa|problemem Waringa]] czy [[Hipoteza Goldbacha|hipotezą Goldbacha]]).

Choć powyższy podział utrwalił się w literaturze, współcześnie wiele kierunków badań przeplata ze sobą metody różnych dziedzin, aby osiągnąć efektywne rezultaty. Do najbardziej znaczących należą:
* [[probabilistyczna teoria liczb]],
* [[teoria sit]],
* badania [[Forma automorficzna|form automorficznych.]]

== Historia ==
=== Prehistoria – Euler i Riemann ===
Pierwsze badania skupione były na analizie zachowania [[Funkcja licząca liczby pierwsze|funkcji liczącej liczby pierwsze]] <math>\pi(x).</math> Rozumiemy przez nią liczbę liczb pierwszych mniejszych lub równych <math>x</math> (np. <math>\pi(10) = 4,</math> bo liczbami pierwszymi w przedziale <math>[1,10]</math> są 2,3,5,7). O nieskończoności liczb pierwszych wiedziano już od [[Euklides]]a, ale [[Asymptotyczne tempo wzrostu|asymptotyka]] czy nierówności opisujące wielkości funkcji <math>\pi(x)</math> pozostawały nieznane. W XVIII w. [[Carl Friedrich Gauss]] i [[Adrien-Marie Legendre]] postawili (niezależnie od siebie) hipotezę mówiącą, że<ref>{{Cytuj |autor = Leonard E. Dickson |tytuł = History of the theory of numbers |data = 1919 |data dostępu = 2023-08-14 |miejsce = Washington |wydawca = Carnegie Institution of Washington |doi = 10.5962/t.174912}}</ref>
: <math>\pi(x) \approx \frac{x}{\log x}</math>

jest właściwym przybliżeniem (przez <math>\log x</math> rozumiemy [[logarytm naturalny]] z <math>x</math>).

Pierwszym znaczącym krokiem w tej materii były, na pozór niepowiązane z liczbami pierwszymi, prace [[Leonhard Euler|Leonharda Eulera]] poświęcone szeregom potęg odwrotności liczb naturalnych (w tym [[Problem bazylejski|problemowi bazylejskiemu]]), a dokładniej – dowód słuszności [[Iloczyn Eulera|iloczynu Eulera]]<ref>{{Cytuj |autor = John Derbyshire |tytuł = The Golden Key, and an Improved Prime Number Theorem |data = 2003 |język = en}}</ref>.

Niech <math>s > 1</math> będzie liczbą rzeczywistą. Rozważmy (zbieżny) szereg
: <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \ldots</math>

Zamiast rozważać sumę po wszystkich liczbach naturalnych, możemy sumować tylko liczby niebędące wielokrotnościami 2. Aby to osiągnąć zauważmy, że szereg
: <math>\frac{1}{2^s}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \frac{1}{8^s} + \ldots</math>

sumuje wyłącznie wielokrotności 2, więc szereg
: <math>\left(1 - \frac{1}{2^s}\right)\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \ldots</math>

jest tym, którego poszukiwaliśmy. Postępując analogicznie, z powyższego szeregu możemy wyeliminować wszystkie wielokrotności liczby 3. Zauważmy, że szereg
: <math>\frac{1}{3^s}\left(1 - \frac{1}{2^s}\right)\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \frac{1}{15^s} + \frac{1}{21^s} + \ldots</math>

zawiera wyłącznie liczby będące wielokrotnościami 3 i niebędące wielokrotnościami 2, zatem szereg
: <math>\left( 1 - \frac{1}{3^s}\right)\left(1 - \frac{1}{2^s}\right)\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \frac{1}{11^s} + \ldots</math>

nie zawiera żadnych wielokrotności liczby 2 ani liczby 3. Kontynuując ten proces dla wszystkich liczb pierwszych, otrzymamy
: <math>\left(\prod_p \left(1 - \frac{1}{p^s}\right)\right)\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} = 1.</math>

Równoważnie, możemy stwierdzić, że
: <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p^s}\right)^{-1}</math>

na całym obszarze <math>\Re(s) > 1,</math> czyli w którym szereg definiujący funkcję zeta jest zbieżny. Powyższa równość stała się punktem wyjścia dla [[Bernhard Riemann|Bernharda Riemanna]]. W swojej słynnej pracy<ref>{{Cytuj |autor = Bernhard Riemann |tytuł = Über die anzahl der primzahlen unter einer gegebenen größe |data = 1859 |język = de}}</ref> z 1859 r. zdefiniował [[Funkcja dzeta Riemanna|funkcję zeta]] jako
: <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}</math>

dla <math>s</math> [[Liczby zespolone|zespolonych]], przy <math>\Re(s) > 1,</math> a następnie [[Przedłużenie analityczne|przedłużył analitycznie]] definicję na całą płaszczyznę zespoloną. W ten sposób, definiując <math>\pi_0(x)</math> jako <math>\pi(x) - 1/2</math> dla <math>x</math> będącego [[Liczby pierwsze|liczbą pierwszą]] lub <math>\pi(x)</math> w każdym innym wypadku, Riemann był w stanie uzyskać dokładny wzór
: <math>\pi_0 (x) = R(x) - \sum_\rho R(x^\rho),</math>

gdzie:
: <math>R(x) = \sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n}\text{li}\left(x^{1/n}\right)</math>

dla [[Funkcja Möbiusa|funkcji Möbiusa]] <math>\mu</math> i [[Logarytm całkowy|logarytmu całkowego]] <math>\text{li},</math> przy czym <math display="inline">\sum_\rho</math> oznacza sumę po wszystkich nietrywialnych miejscach zerowych funkcji zeta (<math>s_0</math> takich, że <math>0 < \Re (s_0) < 1</math>).

Od tego momentu funkcję <math>\pi(x)</math> rozważano przede wszystkim z wykorzystaniem funkcji zeta.

=== Twierdzenie o liczbach pierwszych – Hadamard i Poussin ===
W 1896 r. [[Jacques Salomon Hadamard|Jacques Hadamard]]<ref>{{Cytuj |autor = J. Hadamard |tytuł = Sur la distribution des zéros de la fonction $\zeta(s)$ et ses conséquences arithmétiques |czasopismo = Bulletin de la Soci&amp;#233;t&amp;#233; math&amp;#233;matique de France |data = 1896 |data dostępu = 2023-08-14 |issn = 0037-9484 |wolumin = 2 |s = 199–220 |doi = 10.24033/bsmf.545}}</ref> i [[Charles Jean de la Vallée Poussin]]<ref>{{Cytuj |autor = Charles-Jean de la Vallée Poussin |tytuł = Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers |czasopismo = Annales de la Société scientifique de Bruxelles |data = 1896 |wydawca = Imprimeur de l’Académie Royale de Belgique |język = fr}}</ref> udowodnili, niezależnie od siebie, że funkcja zeta nie ma miejsc zerowych na półprostej <math>\Re (s) = 1,</math> <math>\Im(s)>0.</math> Odkrycie to pozwoliło im udowodnić treść [[Twierdzenie o liczbach pierwszych|twierdzenia o liczbach pierwszych]], tzn.
: <math>\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x) \log x}{x} = 1.</math>

Oba dowody oparte były na pomysłach prezentowanych przez Riemanna oraz twierdzeniach [[Analiza zespolona|analizy zespolonej]].

=== Liczby pierwsze w ciągach arytmetycznych – Dirichlet ===
[[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] uznawany jest za ojca analitycznej teorii liczb<ref name=":1" />. Jako pierwszy udowodnił, że jeśli <math>(a,q)=1,</math> to ciąg arytmetyczny <math>a + qn</math> <math>(n=0,1,2,\dots)</math> zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych. Dowód Dirichleta oparty był na analizie [[Funkcja L Dirichleta|funkcji ''L'']], zdefiniowanych jako

<math>L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty\frac{\chi(n)}{n^s},</math>

gdzie <math>s</math> jest liczbą zespoloną, a <math>\chi(n)</math> jest [[Charakter Dirichleta|charakterem Dirichleta]] mod <math>q,</math> zdefiniowanym jako

<math>\chi(n) = \begin{cases}\exp\left(
\frac{2 \pi i k n}{\varphi(q)} \right),\quad &(n,q)= 1,\\ 0,\quad &(n,q) > 1\end{cases}</math>

dla pewnego <math>k \in \{0,1,\dots,\varphi(q)-1\}.</math> Dirichlet był w stanie wykazać, że wartość <math>L(s,\chi)</math> w <math>s=1</math> jest niezerowa, co stanowiło najważniejszą część dowodu.

=== Metoda łuków – Hardy i Littlewood ===
[[Metoda łuków Hardy’ego-Littlewooda]] (lub Hardy’ego-Ramanujana-Littlewooda) powstała jako nowa metoda analizy problemów addytywnych poprzez odpowiednią analizę [[Funkcja tworząca|funkcji generujących]]. Oryginalnie, ta strategia rozumowania była rozwijana przez [[Godfrey Harold Hardy|Godfreya Hardy’ego]], [[Srinivasa Ramanujan|Srinivasę Ramanujana]] i [[John Edensor Littlewood|Johna Littlewooda]] w kontekście [[Problem Waringa|problemu Waringa]]<ref>{{Cytuj |autor = Melvyn B. Nathanson |tytuł = Additive Number Theory |data = 2010 |data dostępu = 2023-08-16 |isbn = 978-0-387-37029-3 |miejsce = New York, NY |wydawca = Springer New York |s = 1–8 |doi = 10.1007/978-0-387-68361-4_1}}</ref>. Ich prace rozważały [[szereg potęgowy]]

<math>F(x) = \sum_{n=1}^\infty x^{n^k},</math>

gdzie <math>k</math> jest potęgą liczb rozważanych w problemie. Jeśli przez <math>r_s (n)</math> oznaczymy liczbę sposobów na przedstawienie <math>n</math> jako <math>s</math> liczb będącymi <math>k</math>-tymi potęgami, widzimy, że

<math>F(x)^s = \left(\sum_{n=1}^\infty x^{n^k}\right)^s = \sum_{n=1}^\infty r_s(n)x^n.</math>

Niech <math>\gamma</math> będzie dodatnio zorientowanym okręgiem o środku 0 i promieniu <math>r < 1.</math> Wówczas

<math>r_s(n) = \frac{1}{2 \pi i}\int_\gamma\frac{F(x)^s}{x^{n+1}}dx.</math>

Metoda Hardy’ego-Littlewooda opierała się na odpowiednim szacowaniu powyższej całki, w taki sposób, by pokazać, kiedy <math>r_s(n) > 0.</math>

==== Modyfikacja metody – Winogradow ====
[[Iwan Winogradow]] zmodyfikował podejście Hardy’ego, Ramanujana i Littlewooda, aby udowodnić, że wszystkie dostatecznie duże liczby nieparzyste spełniają [[Hipoteza Goldbacha|hipotezę Goldbacha]] dla trzech liczb<ref>N. Rouse, ''Vinogradov’s three prime theorem'' https://math.uchicago.edu/~may/REU2013/REUPapers/Rouse.pdf, 2013 (ang.).</ref>. W swojej pracy Winogradow udowodnił i skorzystał z [[Twierdzenie Winogradowa|twierdzenia]] mówiącego, że funkcja

<math>r(N) = \sum_{k_1 + k_2 + k_3 = N}\Lambda(k_1)\Lambda(k_2)\Lambda(k_3),</math>

gdzie <math>\Lambda</math> oznacza [[Funkcja von Mangoldta|funkcję von Mangoldta]], spełnia zależność

<math>r(N) = \frac{1}{2}G(N)N^2 + O\left( \frac{N^2}{(\log N)^A} \right),</math>

przy czym <math>G(N)</math> dla <math>N</math> nieparzystych jest funkcją ograniczoną.

Zmiany w podejściu polegały przede wszystkim na rozważaniu skończonej [[Szereg trygonometryczny|sumy trygonometrycznej]]

<math>S(\alpha) = \sum_{k \leqslant N}\Lambda(k)e(\alpha k),</math>

gdzie <math>N</math> jest ustaloną liczbą, a <math>e(x)= e^{2 \pi i x}.</math> Widzimy, że

<math>S(\alpha)^3 = \sum_{n \leqslant 3N}\left( \sum_{\begin{array}{c} k_1 + k_2 + k_3 = n \\ k_1, k_2, k_3 \leqslant N \end{array}} \Lambda(k_1)\Lambda(k_2)\Lambda(k_3) \right)e(n\alpha) = \sum_{n \leqslant 3N}r(n,N)e(n\alpha).</math>

<math>r(n,N) = r(n)</math> dla <math>n \leqslant N,</math> dlatego dowód Winogradowa opierał się na oszacowaniu całki

<math>r(n,N) = \int_0^1 S(\alpha)^3 e(-n\alpha) d\alpha.</math>

=== Rozwój teorii sit – Brun, Selberg ===
W miarę rozwoju nauki część matematyków powróciła do metod elementarnych, niewymagających korzystania z funkcji zeta ani funkcji ''L'' Dirichleta. [[Viggo Brun]], dowodząc w 1919 r. zbieżność szeregu odwrotności liczb pierwszych bliźniaczych, zapoczątkował rozwój nowej poddziedziny analitycznej teorii liczb – [[Teoria sit|teorii sit]]. Nowe twierdzenia umożliwiły ustalanie efektywnych szacowań odgórnych, ale nie aż tak dobrych szacowań oddolnych<ref>{{Cytuj |autor = John Friedlander, Henryk Iwaniec |tytuł = Opera de Cribro |data = 2010-06-22 |data dostępu = 2023-08-17 |isbn = 978-0-8218-4970-5 |opis = Colloquium Publications |miejsce = Providence, Rhode Island |wydawca = American Mathematical Society |doi = 10.1090/coll/057}}</ref>.

Podejście Bruna kontynuował później Atle Selberg. Sito <math>\Lambda^2,</math> nazywane dzisiaj jego nazwiskiem, umożliwiło wypracowanie zupełnie nowych wyników, m.in. w zakresie liczb pierwszych bliźniaczych, liczb pierwszych postaci <math>n^2 + 1</math> czy liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych.

=== Współczesna teoria liczb ===
W ostatnich latach rozwój badań skupiony jest przede wszystkim na dalszym pogłębianiu rozważań opartych na teorii sit, ale także wykorzystywaniu wcześniej niestosowanych w teorii liczb twierdzeń.

Do pierwszej grupy można zaliczyć wysiłki m.in. [[Zhang Yitang]]a, [[James Maynard|Jamesa Maynarda]], [[Terence Tao|Terence’a Tao]], [[Ben Green|Bena Greena]], a także całej [[Projekt Polymath|grupy Polymath]], skupionych na wypracowaniu jak najlepszego oszacowania

<math>\liminf_{n \to \infty} (p_{n+1} - p_n) \leqslant K</math>

(obecnie najlepszym wynikiem jest <math>K=246</math> bezwarunkowo oraz <math>K=6</math> przy założeniu [[Hipoteza Elliotta-Halberstama|uogólnionej hipotezy Elliotta-Halberstama]]).

Do drugiej grupy można zaliczyć [[twierdzenie Greena-Tao]], mówiące o tym, że liczby pierwsze zawierają ciągi arytmetyczne dowolnej długości. Metoda dowodu twierdzenia oparta była na [[Twierdzenie Szemerédiego|twierdzeniu Szemerédiego]], dotyczącego gęstości podzbiorów zbioru liczb naturalnych.

== Narzędzia analitycznej teorii liczb ==
=== Twierdzenia abelowskie i tauberowskie ===
Ze względu na częste występowanie w analitycznej teorii liczb obiektów takich, jak szeregi liczbowe, często stosuje się wobec nich twierdzenia abelowskie i tauberowskie. Grupa twierdzeń nazywanych abelowskimi – na cześć [[Niels Henrik Abel|Nielsa Henrika Abela]] – mówi o tym, w jaki sposób zachowują się szeregi sumujące elementy danego ciągu w określony sposób, jeśli znamy asymptotyczne zachowanie wyrazów tego ciągu. Grupa twierdzeń odwrotnych, nazwanych po [[Alfred Tauber|Alfredzie Tauberze]], opisuje zachowanie ciągu przy znajomości zachowania szeregu.

Przykładowo, twierdzenie tauberowskie Harolda N. Shapiro<ref name=":0" /> mówi, że jeśli

<math>\sum_{n \leqslant x}a_n \left\lfloor \frac{x}{n} \right\rfloor = x \log x + O(x),</math>

to

<math>\sum_{n \leqslant x}\frac{a_n}{n} = \log x + O(1).</math>

Klasycznymi wnioskami z twierdzenia Shapiro są zależności<ref name=":0" />

<math>\sum_{n \leqslant x} \frac{\Lambda(n)}{n} = \log x + O(1)</math>

oraz

<math>\sum_{p \leqslant x} \frac{\log p}{p} = \log x + O(1).</math>

=== Szeregi Dirichleta ===
Pojęcie szeregu Dirichleta dotyczy w ogólności wszystkich szeregów postaci

<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s},</math>

gdzie <math>s</math> jest liczbą zespoloną, <math>\Re(s) > 1.</math> W naturalny sposób, podczas badania szeregów Dirichleta, możemy definiować ich mnożenie z wykorzystaniem [[Splot Dirichleta|splotu Dirichleta]],

<math>\left( \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s} \right)\left( \sum_{n=1}^\infty \frac{g(n)}{n^s} \right) = \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{(f * g)(n)}{n^s} \right).</math>

=== Iloczyn Eulera ===
Choć oryginalne twierdzenie Eulera dotyczyło jedynie funkcji zeta na obszarze jej zbieżności, wnioski Eulera można uogólnić na wszystkie zbieżne szeregi postaci

<math>\sum_{n = 1}^\infty\frac{a(n)}{n^s},</math>

gdzie <math>a(n)</math> jest całkowicie multiplikatywną funkcją arytmetyczną, a <math>s</math> – pewną liczbą zespoloną, przy czym <math>\Re(s) > 1.</math> Szeregi te można przedstawić równoważnie, w postaci iloczynu Eulera

<math>\prod_p \left( 1 - \frac{a(p)}{p^s} \right)^{-1}.</math>

== Problemy otwarte ==
Poniżej przedstawiono kilka z najważniejszych i zarazem najbardziej znanych problemów otwartych w analitycznej teorii liczb.
* [[Hipoteza Riemanna]] – czy każde nietrywialne miejsce zerowe funkcji zeta Riemanna leży na linii krytycznej <math display="inline">\Re(s) = 1/2</math>? Problem uznawany jest powszechnie za najbardziej znaczący w całej teorii liczb, doczekał się licznych publikacji. W praktyce, hipoteza Riemanna jest równoważna z zależnością
: <math>\pi(x) = \text{Li}(x) + O(\sqrt{x} \log x),</math>
: gdzie Li oznacza [[Logarytm całkowy|resztę logarytmu całkowego]]
:* [[Uogólniona hipoteza Riemanna]] – czy każde nietrywialne miejsce zerowe [[Funkcja L Dirichleta|funkcji ''L'' Dirichleta]] leży na linii krytycznej <math>\Re(s) = 1/2</math>? Prawdziwość tej hipotezy pociągałaby za sobą skutki analogiczne do zwykłej hipotezy Riemanna, ale dotyczące liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych. Jeśli jest ona prawdziwa, to
: <math>\pi(x;q,a) = \frac{\pi(x)}{\varphi(q)} + O(\sqrt{x}\log({qx})).</math>

* [[Hipoteza Goldbacha]] – czy każda liczba parzysta większa niż 2 może być przedstawiona w postaci sumy dwóch liczb pierwszych?
* [[Hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych]] – czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych <math>p</math> takich, że <math>p+2</math> jest również liczbą pierwszą?

* [[Twierdzenie Linnika|Problem stałej Linnika]] – jeśli <math>p(q,a)</math> dla liczb całkowitych <math>0 < a < q</math> oznacza najmniejszą liczbę pierwszą w ciągu arytmetycznym <math>a + nq</math> <math>(n = 0,1,2,\dots),</math> to czy dla wszystkich par <math>(q,a)</math> zachodzi zależność
: <math>p(q,a) = O(q^L)</math>

: dla stałej <math>L=2</math>? Pozytywne rozwiązanie byłoby znaczącym poprawieniem wyników [[Jurij Linnik|Jurija Linnika]], który pierwszy wykazał istnienie takiej stałej, ale nie podał żadnych wartości numerycznych. Współcześnie najlepszy wynik wynosi <math>L=5</math><ref>{{Cytuj |autor = Triantafyllos Xylouris |tytuł = On the least prime in an arithmetic progression and estimates for the zeros of Dirichlet L-functions |czasopismo = Acta Arithmetica |data = 2011 |data dostępu = 2023-08-14 |issn = 0065-1036 |wolumin = 150 |numer = 1 |s = 65–91 |doi = 10.4064/aa150-1-4}}</ref>. Przy założeniu uogólnionej hipotezy Riemanna można wykazać nierówność<ref>{{Cytuj |autor = Y. Lamzouri; X. Li; K. Soundararajan |tytuł = Conditional bounds for the least quadratic non-residue and related problems |czasopismo = Math. Comp. |data = 2015 |wolumin = 84 |numer = 295 |s = 2391–2412 |doi = 10.1090/S0025-5718-2015-02925-1 |język = en}}</ref>
: <math>p(q,a) \leqslant \varphi(d)^2 (\log d)^2.</math>

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Analytic_number_theory Analytic number theory]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].

{{Działy arytmetyki}}
{{Działy analizy matematycznej}}
{{Działy matematyki}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Analityczna teoria liczb| ]]