Tekst źródłowy strony Algebra ogólna

{{Nie mylić z|[[Algebra nad ciałem]]}}
{{Spis treści}}
'''Algebra (ogólna)''' czasem: '''algebra uniwersalna''' lub '''abstrakcyjna''' – to [[Ciąg (matematyka)|ciąg]] postaci
: <math>(A, f_1, \dots, f_m, a_1, \dots, a_n),</math>

gdzie:
* <math>A</math> – pewien zbiór,
* <math>a_1,\dots, a_m \in A</math> – pewne wyróżnione elementy,
* <math>f_i\colon A^{k_i} \to A</math> – pewne funkcje, które interpretuje się jako <math>k_i</math>-argumentowe działania w <math>A.</math>

Przykładami algebr są [[grupa addytywna]]
: <math>(G, +, 0),</math>

[[grupa multiplikatywna]]
: <math>(G,\cdot, 1),</math>

oraz [[Pierścień (matematyka)|pierścień]]
: <math>(R, +, \cdot, 0).</math>

Algebra ogólna jest przedmiotem badań [[Algebra uniwersalna|algebry uniwersalnej]] (zwanej też ''algebrą ogólną'')<ref>{{cytuj książkę |autor = А.Г. Курош |autor link = |tytuł = Общая алгебра. Лекции 1969–1970 учебного года |url = |wydawca = Наука |strony = 11 |wydanie = 1 |rok = 1974 |isbn = |data dostępu =}}</ref><ref>{{cytuj książkę |autor link = |autor = Л.А. Скорняков |tytuł = Элементы общей алгебры |url = |wydanie = 1 |rok = 1983 |wydawca = Наука |strony = 31, 32 |isbn = |data dostępu =}}</ref>.

Szczególnie ważną klasę algebr stanowią [[algebry równościowo definiowalne]]<ref>Algebrom tym poświęcone są: rozdz. XIV, § 7 w książce: H. Rasiowa, ''Wstęp do matematyki współczesnej'', Warszawa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1968 oraz § 5.5 w książce: {{cytuj książkę |nazwisko = Semadeni |imię = Zbigniew |autor link = Zbigniew Semadeni |nazwisko2 = Wiweger |imię2 = Antoni |tytuł = Wstęp do teorii kategorii i funktorów |seria = [[Biblioteka Matematyczna]]. Tom 45 |wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe |miejsce = Warszawa |rok = 1978 |wydanie = 2 |isbn = |odn = tak}}</ref>.

== Definicja ==
'''Algebrą''' (lub '''algebrą ogólną''') nazywamy skończony [[Ciąg (matematyka)|ciąg]] postaci{{odn|Guzicki|Zakrzewski|2012}}:
: <math>(A,f_1, f_2,\dots,f_m, a_1,a_2,\dots, a_n),</math>

gdzie:
: <math>A</math> jest [[Zbiór pusty|niepustym]] zbiorem zwanym '''nośnikiem''' (albo '''uniwersum''' algebry),
: <math>a_1,a_2,\dots,a_n</math> są pewnymi elementami zbioru <math>A</math> (nazywanymi elementami wyróżnionymi),
: <math>f_1,f_2,\dots,f_m</math> są działaniami określonymi w zbiorze <math>A,</math> przy czym <math>f_i</math> jest działaniem <math>k_i</math>-argumentowym, tzn. jest funkcją postaci <math>f_i\colon A^{k_i}\to A</math> oraz <math>k_i>0.</math>

Zwykle żąda się aby elementy wyróżnione i działania spełniały pewne własności.

== Algebry podobne ==
Dwie algebry:
: <math>(A,f_1, f_2,\dots,f_m, a_1,a_2,\dots, a_n)</math>

i
: <math>(B,g_1, g_2,\dots,g_r, b_1,b_2,\dots, b_s)</math>

nazywamy '''algebrami podobnymi''' (lub '''algebrami tego samego typu''') jeśli <math>m=r</math> oraz <math>n=s,</math> oraz dla każdego <math>i \in \{1,2,\dots,m\}</math> działania <math>f_i</math> oraz <math>g_i</math> są działaniami o tej samej liczbie argumentów, tzn. <math>f_i\colon A^{k_i}\to A</math> oraz <math>g_i\colon B^{k_i}\to B</math>{{odn|Guzicki|Zakrzewski|2012}}.

== Działania zgodne z relacją równoważności ==
{{Główny artykuł|Zgodność relacji z działaniem}}

Niech <math>\sim</math> będzie relacją [[Relacja równoważności|równoważności]] w zbiorze <math>A.</math> <math>k</math>-argumentowe działanie <math>f</math> w <math>A</math> nazywa się ''zgodnym z relacją <math>\sim</math>'' jeśli dla każdych <math>x_1,\dots,x_k, y_1,\dots,y_k\in A</math>
: <math>x_1 \sim y_1 \wedge \ldots \wedge x_k \sim y_k \Rightarrow f(x_1, \dots, x_k)\sim f(y_1, \dots, y_k)</math>{{odn|Guzicki|Zakrzewski|2012}}.

W szczególności gdy <math>f</math> jest działaniem jednoargumentowym oznacza to, że dla każdych <math>x_1, y_1</math>
: <math>x_1 \sim y_1 \Rightarrow f(x_1)\sim f(y_1),</math>

a gdy <math>f=\circ</math> jest działaniem dwuargumentowym, to
: <math>x_1 \sim y_1 \wedge x_2 \sim y_2 \Rightarrow x_1 \circ x_2 \sim y_1 \circ y_2.</math>

Innymi słowy działanie <math>f</math> w zbiorze <math>A</math> jest zgodne z relacją <math>\sim</math> jeśli daje równoważne wyniki na równoważnych argumentach.

== Kongruencje ==
Relację równoważności <math>\sim</math> w algebrze <math>(A, f_1, \dots, f_m, a_1, \dots, a_n)</math> nazywa się ''kongruencją'' jeżeli dla każdego <math>1 \leqslant i \leqslant m</math> działanie <math>f_i</math> jest zgodne z relacją <math>\sim</math>{{odn|Guzicki|Zakrzewski|2012}}.

== Algebra ilorazowa ==
{{Zobacz też|Zbiór ilorazowy}}
Dysponując kongruencją <math>\sim</math> na algebrze <math>\mathcal A = (A, f_1, \dots, f_m, a_1, \dots, a_n)</math> można skonstruować algebrę podobną do <math>\mathcal A.</math> Niech <math>A/_\sim</math> będzie zbiorem ilorazowym. Algebrę <math>\mathcal B</math> definiujemy jako
: <math>\mathcal B := (A/_\sim, g_1, \dots, g_m, b_1, \dots, b_n),</math>

gdzie elementy wyróżnione <math>b_j,\ 1 \leqslant j \leqslant n</math> są skonstruowane jako klasy abstrakcji elementów <math>a_j</math> względem relacji <math>\sim</math> tzn.
: <math>b_j := [a_j]_\sim.</math>

a działania <math>g_1, \dots, g_m</math> są zdefiniowane wzorami{{odn|Guzicki|Zakrzewski|2012}}:
: <math>g_i([x_1]_\sim, \dots, [x_{k_i}]_\sim) := [f_i(x_1, \dots, x_{k_i})]_\sim.</math>

Aby działania <math>g_i</math> były dobrze zdefiniowane muszą nie zależeć od wyboru reprezentantów <math>x_1, \dots, x_{k_i}.</math> Jest to równoważne żądaniu aby dla każdych <math>x_1,\dots, x_{k_i}, y_1, \dots, y_{k_i}\in A</math>
: <math>x_1 \sim y_1 \wedge \ldots \wedge x_{k_i} \sim y_{k_i} \Rightarrow f_i(x_1,\dots,x_{k_i}) \sim f_i(y_1, \dots, y_{k_i})</math>

co z kolei jest równoważne żądaniu aby relacja <math>\sim</math> była kongruencją.

== Homomorfizm algebr ==
Homomorfizmem algebr podobnych <math>(A, f_1, \dots, f_m, a_1, \dots, a_n)</math> i <math>(B, g_1, \dots, g_m, b_1, \dots, b_n)</math> nazywa się funkcję <math>h\colon A \to B</math> taką, że
: <math>h(f_i(x_1, \dots, x_{k_i}))=g_i(h(x_1), \dots, h(x_{k_i}))</math>

dla <math>i=1,\dots, m.</math> W szczególności, gdy <math>f_i=\circ, \ g_i = \bullet</math> są działaniami dwuargumentowymi oznacza to
: <math>h(x_1 \circ x_2)=h(x_1)\bullet h(x_2).</math>

== Alternatywne definicje algebry ==
{{Zobacz też|Algebra uniwersalna}}
W [[Algebra uniwersalna|algebrze uniwersalnej]] stosuje się bardziej abstrakcyjną definicję algebry. Niech <math display=inline>D=\operatorname{{\bigcup}\!\!\!{\cdot}\,}_{i=0}^n D_i</math> będzie rozłączną sumą zbiorów. Elementy zbioru <math>D</math> nazywamy ''symbolami'' i interpretujemy jako symbole działań, przy czym <math>d_k \in D_k</math> są symbolami działań <math>k</math>-argumentowych. ''Algebrą'' nazwiemy zbiór <math>A</math> wraz z przyporządkowaniem każdemu symbolowi <math>d_k \in D_k</math> <math>k</math>-argumentowego działania <math>\phi_k\colon A^k \to A.</math> Bardzo często wygodnie jest utożsamiać symbole <math>d_k</math> z działaniami <math>\phi_k.</math>

Algebrę można zdefiniować jeszcze inaczej. Parę <math>\mathcal F = (F, \mu),</math> gdzie <math>F</math> jest zbiorem, a <math>\mu\colon F \to \mathbb N</math> nazywa się ''typem algebry''. Parę <math>\mathcal A = (A, F_A)</math> nazywa się ''algebrą typu <math>\mathcal F</math>'' jeśli zbiory <math>F_A</math> i <math>F</math> są równoliczne i każdemu <math>f \in F</math> odpowiada <math>f_A \in F_A</math> taki, że <math>f_A\colon A^{\mu(f)} \to A.</math> Element <math>f_A</math> nazywa się ''działaniem'' lub ''operacją'' <math>\mu(f)</math>-argumentową.

== Przykłady ==
=== Półgrupa ===
Algebrę <math>(G, \circ)</math> nazywa się ''[[Półgrupa|półgrupą]]'' jeśli działanie <math>\circ</math> jest [[Łączność (matematyka)|łączne]], tzn. dla każdych <math>a, b, c \in G</math>
: <math>(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c).</math>

=== Grupa ===
Algebrę <math>(G, \circ, e)</math> nazywa się ''[[Grupa (matematyka)|grupą]]'' jeśli jest półgrupą oraz ponadto
* Dla każdego <math>a \in G</math> zachodzi
:: <math>a\circ e = a.</math>
* Dla każdego <math>a\in G</math> istnieje <math>b \in G</math> takie, że
:: <math>a \circ b = e.</math>

Element <math>e</math> nazywa się ''elementem neutralnym'' działania <math>\circ,</math> a <math>b</math> ''elementem odwrotnym'' do <math>a</math> lub ''elementem przeciwnym'' do <math>a</math> i oznacza odpowiednio <math>a^{-1}</math> lub <math>-a.</math>

=== Grupa abelowa ===
Grupę <math>(G, \circ, e)</math> w której działanie jest przemienne, tzn. dla każdych <math>a, b \in G</math> zachodzi
: <math>a\circ b = b \circ a</math>

nazywa się ''[[Grupa przemienna|grupą przemienną]]'' lub ''abelową''.

=== Grupa addytywna i multiplikatywna ===
Grupę w której działanie interpretuje się jako dodawanie oznacza się <math>(G, +, 0)</math> i nazywa się ''[[Grupa addytywna|grupą addytywną]]'', a grupę w której działanie interpretuje się jako [[mnożenie]] oznacza się <math>(G, \cdot, 1)</math> i nazywa ''[[Grupa multiplikatywna|grupą multiplikatywną]]''.

=== Pierścień (łączny) ===
Algebrę <math>(R, +, \cdot, 0)</math> nazywa się ''[[Pierścień (matematyka)|pierścieniem (łącznym)]]'' jeśli
* <math>(R, +, 0)</math> jest grupą przemienną,
* <math>(R, \cdot)</math> jest półgrupą,

ponadto mnożenie jest rozdzielne względem dodawania, tzn. dla każdych <math>a,b,c \in R</math>
: <math>a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c,</math>
: <math>(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c.</math>

== Zobacz też ==
{{wikibooks|Algebra abstrakcyjna}}
{{wikisłownik|algebra}}
* [[algebra nad ciałem]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Guzicki |imię = Wojciech |nazwisko2 = Zakrzewski |imię2 = Piotr | autor link2 = Piotr Zakrzewski (matematyk) |tytuł = Wykłady ze wstępu do matematyki | wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN]] | rok = 2012 | odn = tak }}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/General_algebra General algebra]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].

{{Struktury algebraiczne}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Algebra abstrakcyjna]]