Tekst źródłowy strony Algebra Heytinga

'''Algebra Heytinga''' – typ [[Algebra ogólna|struktury algebraicznej]], [[uogólnienie]] [[Algebra Boole’a|algebry Boole’a]] polegające na odrzuceniu trzech [[aksjomat]]ów:
* [[Prawo wyłączonego środka|prawa wyłączonego środka]] <math>p \vee \lnot p = 1;</math>
* [[Prawo podwójnej negacji|prawa podwójnej negacji]] <math>\lnot \lnot p = p;</math>
* pierwszego [[Prawa De Morgana|prawa de Morgana]] <math>\lnot (p\wedge q)=\lnot p \vee \lnot q.</math>

Ten typ algebr wprowadził [[Arend Heyting]] (1930) w celu zbudowania formalnego narzędzia dla [[logika intuicjonistyczna|logiki intuicjonistycznej]], którą stworzyła [[Holandia|holenderska]] szkoła [[Logika matematyczna|logików]] inspirowana przez [[Luitzen Egbertus Jan Brouwer|L.E.J. Brouwera]]. Jednakże sam Brouwer był przeciwny wszelkiej formalizacji jego idei intuicjonizmu, w szczególności używania takich narzędzi, jakie proponował jego uczeń Heyting. Zakwestionowanie prawa wyłączonego środka i prawa podwójnej negacji wynikało z ogólnych założeń filozoficznych Brouwera dotyczących tego, czym jest [[matematyka]] i jakiego typu rozumowania są w niej dopuszczalne<ref group="uwaga">Wyjaśnienie głównych idei intuicjonizmu (będącego częścią szerszego nurtu zwanego [[Konstruktywizm (matematyka)|konstruktywizmem]]) daje R. Murawski, ''Filozofia matematyki. Zarys dziejów'', wyd. II, PWN, Warszawa 2001, s. 97–112. Krótszy, poglądowy i krytyczny opis znajduje się w książce: P.J. Davis, R. Hersh, ''Świat matematyki'', PWN, Warszawa 1994, s. 283, 292–293, 321–326.</ref>.

Obecnie większość badań dotyczących algebr Heytinga nie jest związana z logiką i intuicjonizmem. Traktuje się je jako pewien typ struktur matematycznych, część [[Algebra ogólna#Szczególne algebry|algebry]] lub dział [[Teoria kategorii|teorii kategorii]]. Rozmaite, równoważne podejścia do teorii algebr Heytinga mogą być sformułowane w ramach teorii [[Częściowy porządek|częściowego porządku]], [[Algebra ogólna|algebry ogólnej]] (zwanej też algebrą uniwersalną), [[Topologia# Gałęzie topologii|topologii ogólnej]] oraz w języku [[Funktory sprzężone|funktorów sprzężonych]] w pewnych specjalnych kategoriach. W teoriach tych rozumowania dotyczące algebr Heytinga są oparte na logice klasycznej (z prawem wyłączonego środka, nieintuicjonistycznej).

== Definicje ==
'''Algebra Heytinga''' (zwana też '''algebrą pseudoboolowską'''<ref group="uwaga">W cytowanej książce Rasiowej i Sikorskiego rozważane są pojęcia ''pseudocomplement'' oraz ''Pseudo-Boolean algebra''; to ostatnie jest równoważne algebrze Heytinga, w szczególności pojawia się tam warunek (H) na s. 58, istnienie elementów 0 i 1 oraz dystrybutywność.</ref><ref name="RS">H. Rasiowa, R. Sikorski, ''The Mathematics of Metamathematics'', Monografie Matematyczne, PWN, Warszawa 1963, s. 54–62, 93–95, 123–130.</ref>) zdefiniowana w języku częściowego porządku to [[Krata (matematyka)#Struktura porządkowa|krata dystrybutywna]]<ref group="uwaga">Krata <math>L</math> nazywa się [[Krata (matematyka)#Rozdzielność|dystrybutywną]] (rozdzielną), gdy dla dowolnych jej elementów <math>x,y,z</math> spełnione są następujące równości:
: <math>(x \land y) \lor z = (x \lor z) \land (y \lor z), \quad (x \lor y) \land z = (x \land z) \lor (y \land z).</math></ref>
mająca [[Elementy najmniejszy i największy|element najmniejszy]] 0, element największy 1, w której jest dodatkowo dane [[działanie dwuargumentowe]] '''implikacji''' <math>\to</math> spełniające następujący warunek<ref name="SW">Z. Semadeni, A. Wiweger, ''Wstęp do teorii kategorii i funktorów'', wyd. 2, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 183–184.</ref>:

(H) &ensp; &ensp; nierówność <math>p \wedge q \leqslant r</math> jest równoważna nierówności &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>p \leqslant q \to r.</math>

Tutaj symbol typu <math>p \to q</math> nie oznacza [[Zdanie logiczne|zdania]] (które mogłoby być prawdziwe lub fałszywe), lecz pewien element zbioru <math>L,</math> podobnie jak elementy <math>p \wedge q</math> i <math>p \vee r.</math> Symbol <math>\to</math> oznacza więc pewną funkcję z <math>L\times L</math> w <math>L.</math> Przy interpretowaniu napisów takich jak <math>p \land q \leqslant r,</math> symbol <math>p \land q</math> można traktować jako koniunkcję, a symbol <math>s \leqslant r</math> jako potocznie rozumiane: <math>s</math> ''pociąga'' <math>r</math> (przez analogię z [[Podzbiór|relacją zawierania]]: <math>S\subseteq R</math>).

'''Negację''' (zwaną też '''pseudodopełnieniem''') określa się wzorem: <math>\lnot p = p \to 0.</math>

Można też zdefiniować algebrę Heytinga jako kratę <math>L</math> z elementami 0 i 1, spełniającą warunek: dla dowolnych <math>p, r \in L</math> istnieje element największy w zbiorze tych <math>q,</math> dla których <math>p \wedge q \leqslant r;</math> ten największy element <math>q</math> jest zwany ''relatywnym pseudodopełnieniem elementu <math>p</math> względem'' <math>r</math> i jest oznaczany symbolem <math>p \to r</math><ref group="uwaga">Tę definicję implikacji można następująco interpretować w języku logiki: <math>p\to r</math> jest najsłabszym zdaniem, dla którego spełniony jest [[reguła odrywania|modus ponens]]: <math>p \to r,</math> <math>p \vdash r.</math></ref>.

W języku [[Algebra ogólna#szczególne algebry|algebr ogólnych]] algebra Heytinga jest strukturą <math>A = \langle L, \vee, \wedge, \to, 0,1 \rangle</math> z trzema działaniami dwuargumentowymi <math>\vee, \wedge, \to</math> z <math>L \times L</math> w <math>L,</math> w której <math>A = \langle L, \vee, \wedge, 0,1\rangle</math> jest kratą dystrybutywną z elementami <math>0, 1,</math> z uporządkowaniem <math>x \leqslant y</math> zdefiniowanym w terminach pierwotnych przez warunek <math>x \vee y = y,</math> a działanie <math>\to</math> spełnia warunek (H). Ponadto dla dowolnych elementów <math>x,y</math> nierówność <math>x\leqslant y</math> zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy <math>x \to y = 1.</math>

Algebry Heytinga tworzą klasę [[Algebra definiowalna równościowo|algebr definiowalnych równościowo]] – ich system aksjomatów, w tym warunek (H), da się zapisać w postaci skończonej liczby aksjomatów mających postać równości<ref>Algebry definiowalne równościowo omawiane są w książkach: H. Rasiowa, ''Wstęp do matematyki współczesnej'', Warszawa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973, s. 274–289, oraz Z. Semadeni, A. Wiweger, ''Wstęp do teorii kategorii i funktorów'', wyd. 2, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 227–230.</ref>.

== Własności algebr Heytinga ==
W każdej algebrze Heytinga dla dowolnych <math>p, q, r \in L</math> oprócz warunku (H) spełnione są następujące warunki<ref name="RS" /><ref name="STANF">http://web.archive.org/web/20130519023435/http://boole.stanford.edu/cs353/handouts/book3.pdf</ref>:
: <math>\lnot 0 = 1, \qquad \lnot 1 = 0, \qquad \lnot (p \vee q) \leqslant \lnot p, \qquad p \wedge \lnot p = 0,</math>

: <math>\lnot\lnot p \geqslant p, \qquad \lnot\lnot\lnot p = \lnot p, \qquad \lnot\lnot (p \vee \lnot p) = 1.</math>

Działanie dwuargumentowe <math>\to</math> spełnia następujące warunki:
: <math>p \to q \leqslant p \to (q \vee r), \qquad (p \vee r) \to q \leqslant p \to q,</math>

: <math>p \to p = 1, \qquad p \wedge (p \to q) = p \wedge q,</math>

: <math>p \to (q \wedge r) = (p \to q) \wedge (p \to r), \qquad q \leqslant p \to q.</math>

W algebrach Heytinga prawdziwe jest tylko drugie [[Prawa De Morgana|prawo de Morgana]] w postaci równości <math>\lnot (p\vee q)=\lnot p\wedge \lnot q,</math> pierwsze zaś prawo ma znacznie słabszą postać:
: <math>\lnot (p\wedge q)=\lnot \lnot (\lnot p\vee \lnot q).</math>

Algebra Heytinga <math>L</math> jest algebrą Boole’a wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi w niej [[prawo podwójnej negacji]] <math>\lnot\lnot p = p,</math> a także wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi prawo wyłączonego środka <math>p \vee \lnot p = 1.</math>

Każda [[algebra Boole’a]] (w szczególności każde [[ciało zbiorów]]) jest algebrą Heytinga z działaniem <math>p\to q</math> zdefiniowanym jako <math>\lnot p \vee q.</math> Jednakże równość <math>p \to q = \lnot p \vee q</math> nie jest na ogół spełniona w algebrach Heytinga, bowiem zawsze <math>p \to p = 1,</math> a <math>\lnot p \vee p</math> może nie być równe 1.

Jeżeli <math>L</math> jest kratą z największym elementem 1 i z uporządkowaniem [[Porządek liniowy|całkowitym]] (zwanym również ''liniowym'', tzn. <math>L</math> jest zarazem łańcuchem, w którym każde dwa elementy <math>p, q</math> są porównywalne), to <math>L</math> staje się algebrą Heytinga, gdy <math>p\to q</math> określimy jako równe 1 w przypadku <math>p\leqslant q</math> i jako <math>q</math> w przypadku przeciwnym <math>p>q</math><ref name="STANF" />.

== Algebra Heytinga zbiorów otwartych przestrzeni topologicznej ==
{{Osobny artykuł|Topologiczna algebra Heytinga}}
Tak jak typowym przykładem algebry Boole’a jest [[Ciało zbiorów|ciało podzbiorów]] dowolnego ustalonego zbioru <math>X</math> wraz z częściowym porządkiem wyznaczonym przez relację inkluzji
<math>\subseteq</math> i z działaniami na zbiorach <math>\cup, \cap, \setminus</math> jako operacjami algebraicznymi, tak typowym przykładem algebry Heytinga jest krata <math>\mathcal O</math> wszystkich podzbiorów [[Zbiór otwarty|otwartych]] [[Przestrzeń topologiczna|przestrzeni topologicznej]] <math>X</math> (oznaczanej w tej algebrze symbolem <math>1</math>) ze zwykłymi działaniami <math>\cup, \cap</math> oraz z działaniami <math>\to, \neg</math> zdefiniowanymi jako<ref name="SW" />
: <math>A \to B ={\mathrm {Int}}[(1\setminus A)\cup B]</math> oraz <math>\neg A = {\mathrm {Int}}(1\setminus A)</math> dla <math>A, B \in \mathcal O,</math>

gdzie <math>\mathrm {Int}(A) = 1 \setminus \overline{(1 \setminus A)}</math> oznacza [[Wnętrze (matematyka)|wnętrze]] zbioru <math>A,</math> a <math>\overline{E}</math> oznacza domknięcie zbioru <math>E.</math> To, że w takiej algebrze Heytinga <math>\neg (\neg A)</math> może być różne od <math>A,</math> pokazuje następujący przykład. Niech <math>X</math> oznacza płaszczyznę kartezjańską <math>\mathbb{R}^2</math> i niech <math>A= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | 0<x^2 + y^2 <1 \}</math> oznacza koło otwarte bez środka. Wówczas dopełnieniem zbioru <math>A</math> jest zbiór <math>E = \{(x,y) | x^2 + y^2 \geqslant 1 \}</math> z dołączonym punktem izolowanym <math>(0,0),</math> zatem <math>\neg A ={\mathrm {Int}}(E) = \{(x,y) | x^2 + y^2 >1 \},</math> skąd wynika, że <math>\neg (\neg A) = \{(x,y) | x^2 + y^2 < 1 \} \ne A.</math>

Każdy element <math>A</math> algebry Heytinga <math>\mathcal O</math> spełnia warunek <math>A \subseteq \neg \neg A,</math> równość zaś zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy <math>A</math> jest dziedziną otwartą (zbiór <math>A</math> nazywa się ''dziedziną otwartą'', gdy spełnia warunek <math>A ={\mathrm {Int}}(\overline{A})</math><ref name="RE">R. Engelking, Topologia ogólna, PWN, Warszawa 1975, s. 26–27, 34–37.</ref>).

Algebra Heytinga <math>\mathcal O</math> jest algebrą Boole’a wtedy i tylko wtedy, gdy topologia <math>\mathcal O</math> jest [[Przestrzeń dyskretna|dyskretna]], tzn. <math>\mathcal O</math> jest rodziną <math>\mathbf 2^X</math> wszystkich podzbiorów zbioru <math>X.</math>

== Reprezentacja algebr Heytinga w topologicznych algebrach Boole’a ==
{{Osobny artykuł|Twierdzenie o reprezentacji algebr Heytinga}}
'''Topologiczna algebra Boole’a''' to algebra Boole’a <math>\mathfrak{A}</math> wraz z dodatkową strukturą ''operatora wnętrza'' <math>\mathbf{I}\colon \mathfrak{A} \to \mathfrak{A}</math> określoną aksjomatycznie przez następujące warunki<ref name="RS" />:
: <math>\mathbf{I} (A \cap B) = \mathbf{I}(A) \cap \mathbf{I}(B), \quad \mathbf{I}(A) \subseteq A, \quad \mathbf{I}(1) = 1, \quad \mathbf{I}(\mathbf{I}(A)) = \mathbf{I}(A)</math>

dla <math>A, B \in \mathfrak{A}.</math> Jest to uogólnienie operacji wnętrza <math>\mathrm {Int}</math> w przestrzeni topologicznej<ref name="KK">K. Kuratowski, ''Wstęp do teorii mnogości i topologii'', wyd. VII, PWN, Warszawa 1977, rozdz. X, § 5, s. 110, 115.</ref><ref name="RE" />. Element <math>A \in \mathfrak{A}</math> nazywa się ''otwartym'', jeżeli <math>\mathbf{I}(A) = A,</math> jego dopełnienie nazywa się ''domknięte'', a operator ''domknięcia'' <math>\mathbf{C}\colon \mathfrak{A} \to \mathfrak{A}</math> zdefiniowany jako <math>\mathbf{C}(A) = 1\setminus \mathbf{I}(1\setminus A)</math> spełnia warunki analogiczne do aksjomatów Kuratowskiego<ref name="KK" /> przestrzeni topologicznej:
: <math>\mathbf{C}(A \cup B) = \mathbf{C}A\cup \mathbf{C}B, \quad A \subseteq \mathbf{C}A, \quad \mathbf{C}(\emptyset) = \emptyset, \quad \mathbf{C} (\mathbf{C}(A))= \mathbf{C}(A).</math>

W topologicznych algebrach Boole’a prawdziwe są te wszystkie zdania o przestrzeniach topologicznych, które dadzą się wywieść z aksjomatów wnętrza <math>\mathrm {Int}</math> bądź z aksjomatów domknięcia Kuratowskiego bez używania pojęcia elementu <math>x \in A.</math>

Topologiczne algebry Boole’a można zaliczyć do szerszej dziedziny [[Topologia bezpunktowa|topologii bezpunktowej]], do której należą różnorakie [[Obiekt matematyczny|obiekty matematyczne]], rozpatrywane w nieprzekładalnych wzajemnie bezpośrednio ujęciach różnych teorii<ref>Więcej na ten temat znajduje się w [[Geometria nieprzemienna]].</ref><ref>Kategoryjne ujęcie zagadnienia znajduje się w książce: J. Picado, A. Pultr, ''Frames and Locales. Topology without points'', Springer, Basel, 2012.</ref>.

Krata <math>\mathcal O (\mathfrak{A})</math> wszystkich elementów otwartych w topologicznej algebrze Boole’a <math>\mathfrak{A}</math> jest algebrą Heytinga. Odwrotnie, prawdziwe jest następujące '''twierdzenie o reprezentacji''' McKinseya i Tarskiego: dla każdej algebry Heytinga <math>L</math> istnieje topologiczna algebra Boole’a <math>\mathfrak{A}</math> taka, że <math>L</math> jest izomorficzna z algebrą <math>\mathcal O (\mathfrak{A})</math><ref>J.C.C. McKinsey, A. Tarski, ''On closed elements in closure algebras'', „Annals of Mathematics” 47 (1946), s. 122–162.</ref><ref name="RS" />.

== Algebry Heytinga w teorii kategorii ==
Każda krata <math>L</math> jest zbiorem częściowo uporządkowanym, może więc być traktowana jako [[Teoria kategorii#Zbiory częściowo uporządkowane jako kategorie|kategoria]]. W tym ujęciu krata <math>L</math> jest algebrą Heytinga, jeśli istnieje w niej [[Obiekty początkowy i końcowy|obiekt początkowy]] 0, obiekt końcowy 1 i jest na niej określona struktura ''kategorii kartezjańsko zamkniętej'', tzn. dla każdego <math>a \in L</math> funktor <math>\Phi_a</math> z <math>L</math> w <math>L</math> o przyporządkowaniu obiektowym <math>\Phi_a(b) = a \wedge b</math> jest lewym sprzężonym funktora <math>\Psi_a</math> o przyporządkowaniu obiektowym <math>\Psi_a(b) = a \to b.</math> Warunek (H), tzn. [[równoważność]] nierówności <math>p \wedge q \leqslant r</math> i <math>p \leqslant q \to r,</math> tłumaczy się bezpośrednio na warunek sprzężoności tych funktorów. Wymienione wyżej tożsamości i nierówności dla algebr Heytinga mogą być wyprowadzone z ogólnych własności funktorów sprzężonych<ref name="SW" /><ref>{{Cytuj | url=https://ncatlab.org/nlab/show/Heyting+algebra | tytuł=Heyting algebra in nLab<!-- Tytuł wygenerowany przez bota --> | opublikowany=ncatlab.org | język=en | data dostępu=2020-09-03}}</ref>.

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{SEP| autor=Ramon Jansana |url=logic-algebraic-propositional |tytuł=Algebraic Propositional Logic |data=12 grudnia 2016 |data dostępu=2018-01-10}}
* {{Cytuj |url = http://boole.stanford.edu/cs353/handouts/book3.pdf |tytuł = Chapter 3. Algebras for Logic |praca = [http://boole.stanford.edu/cs353/handouts.html Handouts – Autumn 2003-04] |data = 2003 |data dostępu = 2018-04-25}}
* {{Cytuj |autor = *autorzy nLab |url = https://ncatlab.org/nlab/show/Heyting+algebra |tytuł = Heyting algebra in nLab |data dostępu = 2018-01-11}}
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Pseudo-Boolean_algebra Pseudo-Boolean algebra]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-03-25].

{{Struktury algebraiczne}}
{{Teoria porządku}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Algebra przemienna]]
[[Kategoria:Struktury dwóch działań wewnętrznych]]
[[Kategoria:Logika matematyczna]]
[[Kategoria:Teoria krat]]
[[Kategoria:Topologia ogólna]]