Tekst źródłowy strony Algebra Banacha

'''Algebra Banacha''' – [[przestrzeń Banacha]] z określonym dodatkowym działaniem mnożenia wraz z którym tworzy ona [[Algebra nad ciałem|algebrę nad ciałem]] [[Liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] (algebrę rzeczywistą) bądź [[liczby zespolone|zespolonych]] (algebrę zespoloną) i w której norma jest podmultiplikatywna, tj.
: <math>\|a\cdot b\| \leqslant \|a\|\, \|b\|\quad (a,b\in A).</math>

Definicja ta ma również sens dla [[przestrzeń unormowana|przestrzeni unormowanych]], które niekoniecznie są [[przestrzeń zupełna|zupełne]] – w takim przypadku mówi się o '''algebrach unormowanych'''. Jeżeli działanie mnożenia jest [[przemienność|przemienne]], to mówi się odpowiednio o przemiennych algebrach unormowanych i przemiennych algebrach Banacha.

Istnieją zasadnicze różnice w teorii zespolonych i rzeczywistych algebr Banacha wynikające z gorszych własności [[teoria spektralna|spektralnych]] tych drugich, skąd klasyczna teoria algebr Banacha dotyczy głównie zespolonych algebr Banacha. W analizie <math>p</math>-adycznej rozważa się również zdefiniowane podobnie jak wyżej algebry Banacha nad ciałem liczb <math>p</math>-adycznych (bądź innym ciałem z waluacją), jednak zwykle teorii tej nie zalicza się do teorii algebr Banacha. W niniejszym artykule rozważane będą głównie zespolone algebry Banacha.

Nazwa ''algebra Banacha'' została wprowadzona w 1945 przez Warrena Ambrose’a<ref>W. Ambrose, [http://web.archive.org/web/20161012055029/http://www.ams.org/journals/tran/1945-057-03/S0002-9947-1945-0013235-8/home.html Structure theorems for a special class of Banach algebras], „[[Transactions of the American Mathematical Society|Trans. Amer. Math. Soc.]]” '''57''' (1945), s. 364–386.</ref>.

== Jedynka w algebrze Banacha ==
Definicja algebry Banacha nie wymaga by miała ona jedynkę, tj. [[element neutralny]] względem mnożenia. Skrajnym przykładem algebry Banacha bez jedynki jest dowolna [[przestrzeń Banacha]] <math>A</math> z trywialnym mnożeniem, tj. <math>a \cdot b = 0 (a, b \in A).</math> Każdą algebrę Banacha <math>A</math> można jednak rozszerzyć o jedynkę do większej algebry Banacha (tj. zbudować jej ''ujedynkowienie'') w taki sposób by <math>A</math> była izometryczna z ideałem o [[Podprzestrzeń liniowa|kowymiarze]] 1 w ujedynkowieniu. Dokładniej, w sumie prostej <math>A \oplus \mathbb C</math> wprowadza się działanie mnożenia wzorem
: <math>(a, \lambda) \cdot (b,\mu) = (ab + \lambda b + \mu a, \lambda \mu)\quad (a,b\in A, \lambda, \mu \in \mathbb{C}),</math>

wraz z którą jest ona algebrą. Algebra ta jest algebrą Banacha z normą
: <math>\|(a, \lambda)| = \|a\|+|\lambda|\; (a\in A, \lambda\in \mathbb{C})</math>{{odn|Kaniuth|2009|s=6}}.

Powyższe konstrukcje mają również sens dla rzeczywistych algebr Banacha; należy jedynie zastąpić wszędzie <math>\mathbb C</math> przez <math>\mathbb R.</math>

== Ciągłość mnożenia w algebrze Banacha ==
W algebrze Banacha operacja mnożenia jest ciągła<ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Algebra Banacha | id = 3873884 | data dostępu = 2021-07-24 }}</ref>. Jest to warunek charakteryzujący algebry będące jednocześnie przestrzeniami Banacha co do przenormowania. Dokładniej, jeżeli <math>A</math> jest taką algebrą, która jest przestrzenią Banacha z normą <math>|{\cdot}|</math> oraz mnożenie w niej jest ciągłe ze względu na każdą ze zmiennych, to istnieje [[Przestrzeń unormowana#Własności|norma równoważna]] na <math>A</math> wraz z którą <math>A</math> jest algebrą Banacha. Na przykład funkcja
: <math>\|a\|=\sup\{|ab|\colon b\in A, |b|=1\}\; (a\in A).</math>

jest normą równoważną normie <math>|{\cdot}|</math> oraz jest podmultiplikatywna, tj. <math>A</math> wyposażona w tę normę jest algebrą Banacha{{odn|Kaniuth|2009|s=2}}.

== Przykłady ==
* Niech <math>X</math> [[przestrzeń lokalnie zwarta|lokalnie zwartą]] [[przestrzeń Hausdorffa|przestrzenią Hausdorffa]] oraz niech <math>C_0(X)</math> oznacza algebrę [[Funkcja ciągła|funkcji ciągłych]] o wartościach skalarnych, które znikają w nieskończoności, tj. takich funkcji ciągłych <math>f,</math> że dla każdego <math>\varepsilon > 0</math> zbiór
:: <math>\{x\in X\colon |f(x)| \geqslant \varepsilon \}</math>
: jest [[Przestrzeń zwarta|zwarty]]. W przypadku, gdy przestrzeń <math>X</math> jest zwarta, każda funkcja ciągła na <math>X</math> spełnia ten warunek, skąd przyjmuje się oznaczenie <math>C(X).</math> Algebra <math>C_0(X)</math> z normą supremum:
:: <math>\|f\|=\sup\{|f(x)|\colon x\in X\}\quad (f\in C_0(X))</math>
: jest przemienną algebrą Banacha, która ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń <math>X</math> jest zwarta (jedynką jest wówczas funkcja stale równa 1).
* Przykładem skończenie wymiarowej algebry Banacha jest [[Macierz#Przestrzeń macierzy|przestrzeń]] <math>M_n</math> macierzy kwadratowych stopnia <math>n</math> z działaniem zwykłego [[Mnożenie macierzy|mnożenia macierzy]] i dowolną [[norma macierzowa|normą macierzową]].
* Niech <math>E</math> będzie [[przestrzeń Banacha|przestrzenią Banacha]] oraz niech <math>B(E)</math> oznacza algebrę wszystkich [[Operator liniowy ograniczony|operatorów ograniczonych]] <math>T\colon E \to E</math> ze [[złożenie funkcji|składaniem]] jako mnożeniem. Wówczas <math>B(E)</math> z [[norma operatorowa|normą operatorową]]
:: <math>\|T\| = \sup\{\|Tx\|\colon x\in E, \|x\|\leqslant 1\}\quad (T\in B(E))</math>
: jest algebrą Banacha z jedynką (jedynką jest w tym wypadku [[funkcja tożsamościowa|operator identycznościowy]]). Algebra ta jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\dim E \leqslant 1.</math>
* Niech <math>L_1(\mathbb R)</math> oznacza [[przestrzeń Lp|przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a na prostej]] z mnożeniem określonym przez [[Splot (analiza matematyczna)|splot]], tj.
*: <math>(f * g)(x) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) g(x-t) \mathrm{d}t\; (f,g\in L_1(\mathbb R)).</math>
: Jest to przykład algebry Banacha bez jedynki, którą jednak można aproksymować w takim sensie, iż istnieje ciąg <math>(e_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> o wyrazach z przestrzeni <math>L_1(\mathbb R)</math> o tej własności, że <math>\|e_n\|=1</math> dla każdej liczby naturalnej <math>n</math> oraz
:: <math>\lim_{n \to \infty}~\|e_n * f - f\| = \lim_{n\to\infty}~\|f * e_n - f\| = 0</math>
: dla każdej funkcji <math>f\in L_1(\mathbb{R}).</math> Ogólniej, dla każdej [[przestrzeń lokalnie zwarta|lokalnie zwartej]] [[grupa topologiczna|grupy topologicznej]] [[przestrzeń Hausdorffa|Hausdorffa]] z określoną na niej [[miara Haara|miarą Haara]] <math>\mu,</math> przestrzeń <math>L_1(G)</math> funkcji <math>\mu</math>-całkowalnych na <math>G</math> z działaniem mnożenia splotowego określonego niżej jest algebrą Banacha:
:: <math>(xy)(g) = \int\limits_G x(h) y\left(h^{-1}g\right) \mu(\mathrm{d}h),\; x, y \in L^1(G).</math>
: Algebra <math>L_1(G)</math> ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy grupa <math>G</math> jest [[przestrzeń dyskretna|dyskretna]].
* [[Kwaterniony]] tworzą 4-wymiarową algebrę Banacha z normą daną przez ich [[kwaterniony#Sprzężenie, wyznacznik, moduł|moduł]].
* [[Algebra Wienera]].

== Otwartość grupy elementów odwracalnych a ciągłość operacji brania elementu odwrotnego ==
Niech <math>A</math> będzie (rzeczywistą bądź zespoloną) algebrą Banacha z jedynką 1. Zbiór <math>\mathrm{GL}(A)</math> złożony ze wszystkich [[element odwracalny|elementów odwracalnych]] w <math>A</math> jest niepusty, gdyż zawiera 1 oraz jest [[grupa (matematyka)|grupą]] z mnożeniem dziedziczonym z <math>A.</math> Jeżeli <math>a \in A</math> oraz
: <math>\delta:=\|1-a\|<1,</math>

to <math>a \in \mathrm{GL}(A).</math> Ponadto
:: <math>\|a^{-1}\|\leqslant \frac{1}{1 - \|1-a\|}</math>{{odn|Douglas|1998|s=34}}.
: ''Dowód''. Niech <math>M < N</math> będą [[Liczby naturalne|liczbami naturalnymi]]. Wówczas
:: <math>\Big\|\sum_{k=0}^N (1-a)^k - \sum_{k=0}^M (1-a)^k\Big|=\Big\|\sum_{k=M+1}^N (1-a)^k \Big\| \leqslant \sum_{k=M+1}^N \|1-a\|^k \leqslant \frac{\delta^M}{1-\delta}.</math>
: Ponieważ prawa strona powyższej nierówności jest zbieżna do 0, ciąg sum częściowych ciągu <math>(1-a)^k</math> jest [[Ciąg Cauchy’ego|ciągiem Cauchy’ego]], a więc jest on zbieżny do pewnego elementu <math>b \in A</math> (z zupełności <math>A</math>), tj.
:: <math>b = \sum_{k=0}^\infty (1-a)^k.</math>
: Ponadto
:: <math>\begin{align}
ab &= (1-(1-a)) \textstyle\sum_{k=0}^\infty (1-a)^k\\
&= lim_{n\to \infty} (1-(1-a)) \textstyle\sum_{k=0}^n (1-a)^k\\
&= \lim_{n\to \infty} (1-(1-a)^{n+1})\\
&= 1
\end{align}</math>
: oraz
:: <math>\begin{align}
ba &= \textstyle\sum_{k=0}^\infty (1-a)^k (1-(1-a))\\
&= \lim_{n\to \infty} \textstyle\sum_{k=0}^n (1-a)^k(1-(1-a))\\
&= \lim_{n\to \infty} (1-(1-a)^{n+1})\\
&= 1,
\end{align}</math>
: ponieważ <math>\delta < 1.</math> Pokazuje to, że <math>b = a^-1.</math> Co więcej,
:: <math>\|b\| = \lim_{n\to \infty} \Big\|\sum_{k=0}^n (1-a)^k \Big\| \leqslant \sum_{k=0}^n \big\|(1-a) \big\|^k = \frac{1}{1-\|1-a\|}.</math>

Z powyższego wynika, że grupa <math>\mathrm{GL}(A)</math> jest [[zbiór otwarty|otwarta]] (w [[topologia|topologii]] pochodzącej od normy <math>A</math>){{odn|Douglas|1998|s=35}}.
: ''Dowód''. Niech <math>u \in A</math> będzie elementem odwracalnym oraz niech <math>a \in A</math> będzie dowolne. Wówczas <math>a = u ( 1 - (1 - u^{-1} a )).</math> W przypadku gdy <math>\|a-u\|< \|u^{-1}\|^{-1},</math> element <math>a</math> jest również odwracalny ponieważ
:: <math>\|1-u^{-1}a\|\leqslant \|u^{-1}\|\,\|a-u\|<1,</math>
: więc element <math>u^{-1}a</math> (a więc i samo <math>a</math>) jest odwracalny.

Ostatecznie, funkcja
: <math>a\mapsto a^{-1}\quad (a\in \mathrm{GL}(A))</math>
jest ciągła, tj. <math>\mathrm{GL}(A)</math> jest [[grupa topologiczna|grupą topologiczną]]{{odn|Douglas|1998|s=36}}.
: ''Dowód''. Niech <math>a, b \in \mathrm{GL}(A).</math> Jeżeli <math>\|a-b\| < (2\|a^{-1}\|)^{-1},</math> to <math>\|1-a^{-1}b\| < 2^{-1}.</math>
: Stąd
:: <math>\|b^{-1}\|\leqslant \|b^{-1}a\|\|a\| = \|(a^{-1}b)^{-1}\|\|a\|\leqslant 2\|a^{-1}\|.</math>
: Ostatecznie
:: <math>\|a^{-1}-b^{-1}\| \leqslant \|a^{-1}(a-b)b^{-1}\| \leqslant 2 \|a^{-1}\|^2\ \|a-b\|,</math>
: co dowodzi ciągłości operacji brania [[Element odwrotny|elementu odwrotnego]].

== Ideały i ilorazowe algebry Banacha ==
Niech <math>A</math> będzie algebrą Banacha oraz niech <math>I</math> będzie [[zbiór domknięty|domkniętym]] [[ideał (teoria pierścieni)|ideałem dwustronnym]]. W szczególności, <math>I</math> jest domkniętą podprzestrzenią liniową, więc [[przestrzeń ilorazowa]] <math>A/I</math> jest przestrzenią Banacha. Ponieważ <math>I</math> jest ideałem dwustronnym, <math>A/I</math> jest również algebrą. Algebra ta jest algebrą Banacha, tj. [[przestrzeń ilorazowa|norma ilorazowa]] jest podmultiplikatywna.
: ''Dowód''. Niech <math>a, b \in A.</math> Wówczas
:: <math>\begin{align}
\|ab+I\| &= \textstyle\inf_{c\in ab+I}\|c\| \\
&= \textstyle\inf_{c_1\in a+I, c_2\in b+I} \|c_1 c_2\| \\
&\leqslant \textstyle\inf_{c_1\in a+I, c_2\in b+I} \|c_1\|\cdot \|c_2\| \\
&\leqslant \textstyle\inf_{c_1\in a+I} \|c_1\| \cdot \inf_{c_2\in b+I} \|c_2\| \\
&= \|a+I\|\cdot \|b+I\|.
\end{align}</math>
: Powyższa nierówność kończy dowód, ponieważ każdy element <math>A/I</math> jest postaci <math>a + I</math> dla pewnego <math>a \in A</math>{{odn|Douglas|1998|s=39–40}}.

Z ciągłości działań w algebrze Banacha wynika, że jeżeli <math>I</math> jest dowolnym ideałem w <math>A,</math> to jego [[domknięcie]] też jest ideałem w <math>A.</math>

=== Przykłady ===
* Niech <math>X</math> będzie zwartą przestrzenią Hausdorffa. Wówczas każdy domknięty ideał <math>I</math> w <math>C(X)</math> jest postaci
:: <math>I = \{f\in C(X)\colon f|_K = 0 \}</math>
: dla pewnego zwartego podzbioru <math>K \subseteq X.</math> Algebra ilorazowa <math>C(X)/I</math> jest wówczas izometrycznie izomorficzna jako algebra Banacha z <math>C_0(X\setminus K)</math>{{odn|Douglas|1998|s=54}}{{odn|Kadison|Ringrose|1983|s=210–211}}.
* Dla każdej przestrzeni Banacha <math>E,</math> zbiór <math>K(E)</math> złożony ze wszystkich [[operator zwarty|operatorów zwartych]] na <math>E</math> jest domkniętym ideałem w <math>B(E).</math> Algebra ilorazowa <math>B(E)/K(E)</math> bywa nazywana algebrą Calkina przestrzeni <math>E</math> (czasami nazwa ta jest rezerwowana dla przypadku, gdy <math>E</math> jest ośrodkową [[przestrzeń Hilberta|przestrzenią Hilberta]]{{odn|Douglas|1998|s=113}}).

== Przemienne algebry Banacha ==
Podstawowym przykładem [[pierścień przemienny|przemiennej]] algebry Banacha jest algebra <math>C_0(X)</math> funkcji ciągłych o własnościach skalarnych na [[przestrzeń lokalnie zwarta|lokalnie zwartej]] [[przestrzeń Hausdorffa|przestrzeni Hausdorffa]] <math>X,</math> które znikają w nieskończoności. Jeżeli <math>A</math> jest przemienną algebrą Banacha, to rodzina jej maksymalnych ideałów modularnych <math>\Delta_A</math> z topologią Gelfanda jest (możliwie pustą) przestrzenią lokalnie zwartą Hausdorffa. [[Transformata Gelfanda]]
: <math>\Phi\colon A \to C_0(\Delta_A)</math>

jest ciągłym homomorfizmem, który jest różnowartościowy i ma gęsty obraz w przypadku, gdy <math>A</math> jest pół-prosta w sensie Jacobsona, tj. gdy niezerowe funkcjonały liniowo-multiplikatywne oddzielają punkty w <math>A.</math>

== Zobacz też ==
* [[C*-algebra]]
* [[sprzężona algebra Banacha]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko=Douglas |imię=Ronald G. |tytuł=Banach Algebra Techniques in Operator Theory |miejsce=Nowy Jork |wydawca=Springer-Verlag |rok=1998 |odn=tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko=Kaniuth |imię=Eberhard |tytuł=A Course in Commutative Banach Algebras |seria=Grad. Texts in Math., vol. 246 |miejsce=Nowy Jork |wydawca=Springer-Verlag |rok=2009 |odn=tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko=Kadison |imię=Richard V. |nazwisko2=Ringrose |imię2= John. R. |tytuł=Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Elementary Theory |miejsce=Nowy Jork |wydawca=Academic Press |rok=1983 |odn=tak}}

== Literatura dodatkowa ==
* {{cytuj książkę |nazwisko=Arveson |imię=William |tytuł=A Short Course on Spectral Theory |miejsce=Nowy Jork |wydawca=Springer-Verlag |rok=2001}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Banach_algebra Banach algebra]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].

{{Algebry nad ciałami liczbowymi}}
{{Struktury na przestrzeniach liniowych}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Algebry Banacha| ]]