Tekst źródłowy strony 0,(9)

{{Dopracować|OR=2024-04|źródła=2024-03}}
[[Plik:999 Perspective 2.svg|mały|Stylizowany perspektywą zbieżną zapis liczby 0,(9)]]
'''0,(9)''' (lub '''0,999…''') – alternatywny zapis [[1 (liczba)|liczby 1]] w postaci [[ułamek dziesiętny nieskończony|ułamka dziesiętnego nieskończonego]]. Równość <math>0{,}(9) = 1</math> można udowodnić na kilka sposobów.

== Dowody ==
=== Dowód 1. ===
Dowód wykorzystuje przedstawienie ułamka <math>\tfrac{1}{9}</math> w postaci liczby dziesiętnej <math>0{,}(1).</math> Z równości <math>\tfrac{1}{9}=0{,}(1)</math> natychmiast wynika
: <math>0{,}(9) = 9 \cdot 0{,}(1) = 9\cdot \frac{1}{9} = 1.</math>

Podobnie ułamek <math>\tfrac{3}{9}=\tfrac{1}{3}</math> można przedstawić w postaci liczby dziesiętnej <math>0{,}(3).</math> Stąd
: <math>0{,}(9) = 3 \cdot 0{,}(3) = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1.</math>

W dowodzie można także wykorzystać dowolny rozkład liczby 0,(9) na sumę co najmniej dwóch [[Ułamek dziesiętny|ułamków dziesiętnych]] nieskończonych, o których wiadomo, jakich [[Ułamek|ułamków zwykłych]] są rozwinięciem. Przykładowo:
: <math>0{,}(9) = 0{,}(1)+0{,}(8) = \frac{1}{9}+\frac{8}{9} = 1.</math>

Podobnie dla poniższych rozkładów
: <math>0{,}(9) = 0{,}(2)+0{,}(7) = 0{,}(3)+0{,}(6) = 0{,}(4)+0{,}(5) = 0{,}(1)+0{,}(2)+0{,}(2)+0{,}(4)</math>&nbsp; itd.

=== Dowód 2. ===
Dowód polega na pomnożeniu liczby 0,(9) przez 10, odjęciu od otrzymanego wyniku 0,(9), a następnie na podzieleniu całości przez 9:
: <math>\begin{align}
x &= 0{,}999\ldots \\
10 x &= 9{,}999\ldots \\
10 x - x &= 9{,}999\ldots - 0{,}999\ldots \\
9 x &= 9 \\
x &= 1.
\end{align}</math>

=== Dowód 3. ===
Liczbę 0,(9) można przedstawić jako sumę nieskończonego [[szereg geometryczny|szeregu geometrycznego]]:
: <math>0{,}(9) = 0{,}9 + 0{,}09 + 0{,}009 + 0{,}0009 + \ldots = \sum_{n=1}^\infty\frac{9}{10^n}</math>

i korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, w którym <math>a_1=\frac{9}{10},\,\, q=\frac{1}{10},</math> dostaniemy:
: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{9}{10^n} = \frac{a_1}{1-q} = \frac{ \frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}} = 1.</math>

== Uwagi ==
; Uwaga 1.
Pierwszy dowód opiera się na [[Ułamek dziesiętny nieskończony#Własności|algorytmie wyznaczania rozwinięcia dziesiętnego liczby rzeczywistej]].

Dla ułamków postaci <math>\frac{c}{9},\,\, 1\leqslant c<9</math> zachodzi równość
: <math>10\cdot\frac{c}{9} = c+\frac{c}{9},</math>

z której wynika, że kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego powstające w trakcie stosowania algorytmu powtarzają się cyklicznie <math>c_0=0, \quad c_1=c_2=c_3=\ldots,</math> tzn.
: <math>\frac{1}{9} = 0{,}(1),\quad \frac{2}{9} = 0{,}(2),\quad \frac{3}{9} = 0{,}(3),\quad \dots \quad \frac{8}{9} = 0{,}(8).</math>

Ten algorytm zawodzi jednak dla ułamka <math>\tfrac{9}{9},</math> stąd nieoczywista równość
: <math>\frac{9}{9} = 0{,}(9),</math>

którą należy wykazać.

; Uwaga 2.
Dowód 2. jest zastosowaniem ogólnej metody zamiany na ułamek zwykły każdej liczby dziesiętnej okresowej z dowolnie długim okresem.

; Uwaga 3.
Ściśle biorąc, dwa pierwsze dowody, chociaż bardzo intuicyjne, korzystają ''implicite'' z pewnych własności [[szereg (matematyka)#Zbieżność i rozbieżność|szeregów zbieżnych]]:
* jeśli <math>\sum_i a_i</math> jest zbieżny, to <math>\sum_i k\cdot a_i</math> też jest zbieżny oraz <math>\sum_i k\cdot a_i = k\cdot\sum_i a_i,</math>
* jeśli <math>\sum_i a_i, \sum_i b_i</math> są zbieżne, to <math>\sum_i (a_i + b_i)</math> też jest zbieżny oraz <math>\sum_i (a_i+b_i) = \sum_i a_i + \sum_i b_i.</math>

== Zobacz też ==
{{Commons|0.999…}}
* [[paradoksy Zenona z Elei]]

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} ''[http://www.math.us.edu.pl/pgladki/faq/node57.html Ułamek 0,(9)]'', [[Uniwersytet Śląski w Katowicach]] (UŚ), math.us.edu.pl [dostęp 2024-11-29].

[[Kategoria:Ułamki dziesiętne]]
[[Kategoria:Paradoksy w matematyce]]