Tekst źródłowy strony Ślimak Teodorosa

[[Plik:Spiral of Theodorus.svg|thumb|400px|Ślimak Teodorosa]]
'''Ślimak Teodorosa, spirala Teodorosa''' – konstrukcja geometryczna, pozwalająca stworzyć odcinek o długości równej [[pierwiastek kwadratowy|pierwiastkowi]] z danej [[liczby naturalne]]j{{r|zobaczycmatematyke.krk.pl}}. Zasada konstrukcji opiera się na [[twierdzenie Pitagorasa|twierdzeniu Pitagorasa]]. Nazwa konstrukcji pochodzi od imienia greckiego matematyka i filozofa, [[Teodor z Cyreny|Teodorosa z Cyreny]]. Autorem konstrukcji był Jakob Heinrich Anderhub, matematyk amator, który opisał ją w pracy ''Joco-Seria, aus den Papieren eines reisenden Kaufmanns'' z 1941 roku{{odn|Davis|1993|s=7–8}}.

== Opis konstrukcji ==
# Budujemy [[trójkąt prostokątny]] o przyprostokątnych długości 1. Przeciwprostokątna trójkąta ma długość <math>\sqrt{2}.</math>
# Konstruujemy kolejny trójkąt prostokątny, którego jedną przyprostokątną jest [[trójkąt prostokątny|przeciwprostokątna]] trójkąta z pkt. 1, a druga przyprostokątna ma długość 1. Przeciwprostokątna otrzymanego trójkąta ma długość <math>\sqrt{3}.</math>
# Czynność tę powtarzamy, tworząc kolejne trójkąty prostokątne. Za każdym razem jedna z przyprostokątnych jest zarazem przeciwprostokątną trójkąta z poprzedniego kroku, a druga ma długość 1. Długości przeciwprostokątnych są pierwiastkami kolejnych liczb naturalnych.

Konstrukcja w 17 kroku prowadzi do nakładania się trójkątów na siebie{{r|zobaczycmatematyke.krk.pl}}, jak na ilustracji obok. Jeśli będzie kontynuowana, trzecia grupa trójkątów podwójnie nakładających się na siebie nastąpi w 54. kroku itd.

== Najprostsze własności ==
[[Plik:Spiral of Theodorus triangle.svg|thumb|<math>n</math>-ty trójkąt konstrukcji]]
Niech <math>\varphi_n</math> oznacza kąt ostry <math>n</math>-tego trójkąta o wierzchołku w środku całej konstrukcji. Wówczas:
: <math>\operatorname{tg} \varphi_n = \frac{1}{\sqrt{n}}.</math>

Stąd oczywiście:
: <math>\varphi_n=\operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{n}}.</math>

Suma
: <math>\sum_{k=1}^n\varphi_k</math>

wyznacza kąt dla przeciwprostokątnej <math>n</math>-tego trójkąta o długości <math>\sqrt{n+1}</math> względem przyprostokątnej o długości <math>\sqrt{1}</math> 1-go trójkąta poprowadzonej ze środka konstrukcji.

W 1958 roku Erich Teuffel udowodnił, że żadne dwie przeciwprostokątne nie pokryją się, tzn.
: <math>\sum_{k=1}^{n_1}\varphi_k \ne \sum_{k=1}^{n_2}\varphi_k</math> dla <math>n_1 \ne n_2</math>{{r|Teuffel1958-s148-152}}.

== Historia ==
[[Plik:Spiral of Theodorus extended.svg|thumb|400px|Rozszerzony ślimak Teodorosa.]]
Konstrukcja zwana ''ślimakiem Teodorosa'' była niekiedy przypisywana [[Teodor z Cyreny|Teodorosowi]] jako stosowana przez niego metoda wyznaczania odcinka o długości proporcjonalnej do pierwiastka kwadratowego z całkowitej wielokrotności danego odcinka jednostkowego. W rzeczywistości [[pitagorejczycy]], którzy opracowali i rozwinęli metodę [[kwadratura figury geometrycznej|kwadratury wielokątów]], potrafili „pierwiastkować” odcinki o dowolnej rzeczywistej nieujemnej długości. Np. [[kwadratura figury geometrycznej|kwadratura]] dowolnego trójkąta o podstawie 2 i wysokości <math>h</math> prowadziła „w jednym kroku” do konstrukcji kwadratu o boku <math>\sqrt h\ (h\in R^+),</math> podczas gdy metoda użyta w ślimaku Teodorosa jest niepraktyczna i żmudna – wyznaczenie odcinka długości <math>\sqrt n\ (n\in N)</math> wymaga <math>n</math>-krotnego powtórzenia każdego kroku konstrukcji.

Ślimak Teodorosa jest znany głównie dzięki fragmentowi dialogu [[Platon]]a ''Teajtet''{{r|Theodorus of Cyrene}} będącego relacją z badań Teodorosa nad niewymiernością boków kwadratów o danych całkowitych polach<ref>Kwestię tę dokładnie wyjaśniają Jean Itard, ''Les livres arithmétiques d’Euclide'', s. 33–39, Hermann, Paris 1961 oraz Wilbur R. Knorr, ''The evolution of the Euclidean Elements'', Reidel, Dordrecht-Boston 1975, s. 62–108.</ref>.

Wzmianka o ''siedemnastostopowym kwadracie'' w zdaniu
{{Cytat
 |treść = ...i tak po jednym każdy kwadrat brał pod uwagę aż do siedemnastostopowego; na tym się jakoś zatrzymał.<br /><small>[[Platon]] ''Parmenides. Teajtet'',  przeł. [[Władysław Witwicki]]. Kęty: Wydawnictwo Antyk, 2002, s. 99.</small>
}}

wywoływała wiele domysłów i spekulacji próbujących znaleźć przyczynę zatrzymania się Teodorosa w swoich badaniach właśnie na kwadracie o polu 17{{odn|Davis|1993|s=7–8}}.

Przez zbieżność tej siedemnastki z siedemnastym krokiem konstrukcji ślimaka Teodorosa, w którym trójkąt nakłada się na pierwszy już narysowany, konstrukcja ta była traktowana jako jedno z możliwych wyjaśnień tego fragmentu z Platona.

== Funkcja Teodorosa i stała Teodorosa ==
Linia łamana, utworzona przez krótsze przyprostokątne opisanych wyżej trójkątów prostokątnych (przyprostokątne o długości 1), bywa niekiedy nazywana '''dyskretną spiralą Teodorosa'''{{r|Theodorus Spiral}}. Philip Davis określił położenie wierzchołków tej spirali na [[płaszczyzna zespolona|płaszczyźnie zespolonej]] poprzez [[równanie rekurencyjne]]{{odn|Davis|1993|s=33–34}}:
: <math>z_0 = 1,\;\;z_{n+1} = z_n + i\frac{z_n}{|z_n|},</math>

gdzie <math>i</math> jest [[jednostka urojona|jednostką urojoną]], <math>|z|</math> oznacza [[Wartość bezwzględna#Liczby zespolone|moduł]] liczby zespolonej <math>z.</math>

Wzór
: <math>|z_n| = \sqrt{n+1}</math>

łatwo można wykazać indukcyjnie, bo <math>|z_0| = \sqrt{1} = 1</math> oraz
: <math>|z_n| = \left|z_{n-1} + \frac{iz_{n-1}}{|z_{n-1}|}\right| = |z_{n-1}|\cdot \left|1+\frac{i}{|z_{n-1}|}\right|\, \stackrel{*}=\, \sqrt{n}\cdot\left|1+\frac{i}{\sqrt{n}}\right| = |\sqrt{n}+i| = \sqrt{n+1},</math>

w miejscu oznaczonym gwiazdką (*) wykorzystano założenie indukcyjne <math>|z_{n-1}| = \sqrt{n}.</math>

Korzystając z powyższej własności, Davis przekształcił wzór rekurencyjny w postaci iteracyjnej{{odn|Davis|1993|s=33–34}}
: <math>z_n = \prod_{k=1}^n \left(1 + \frac{i}{\sqrt{k}}\right).</math>

Zagadnienie, jak [[Interpolacja (matematyka)|zinterpolować]] wierzchołki dyskretnej spirali Teodorusa za pomocą krzywej [[funkcja regularna|gładkiej]], postawił i rozwiązał Davis{{odn|Davis|1993|s=38}}, wykorzystując analogię z wzorem Eulera dla [[Funkcja Γ|funkcji gamma]] jako rozszerzenia [[silnia|silni]]. Jako rozwiązanie zagadnienia przedstawił wzór:
: <math>T(x) = \prod_{k=1}^\infty \frac{1 + \frac{i}{\sqrt{k}}}{1+\frac{i}{\sqrt{k+x}}},</math>

wykazał jego zbieżność dla <math>x > -1</math> i zaproponował dla niego nazwę '''funkcja Teodorosa'''.

'''Stałą Teodorosa''' <math>T</math> nazwał Davis nachylenie (gradient) funkcji Teodorosa w punkcie <math>(0, 0)</math><ref group=uwaga>Stałą Teodorosa bywa także nazywana wartość <math>\sqrt{3}.</math></ref>{{r|const}}:
: <math>\begin{align}
T &= \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(k+1) \sqrt{k}} \\
&= \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{3/2} + k^{1/2}} \\
&= \frac{1}{2} - \sum_{k=1}^\infty (-1)^k [\,\zeta (k + \frac{1}{2}) -1\,] \\
&= 1{,}8600250...,\end{align}</math>

gdzie <math>\zeta(z)</math> jest [[funkcja dzeta Riemanna|funkcją dzeta Riemanna]].

Stosując zaawansowane metody analityczne i numeryczne, stałą Teodorosa do 50. miejsca po przecinku obliczył Walter Gautschi{{odn|Davis|1993|s=67–87}}{{r|spiral}}.

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy|
<ref name="const">{{MathWorld|adres=TheodorussConstant |tytuł=Theodorus’s Constant |data dostępu=2017-07-27}}</ref>
<ref name="spiral">{{cytuj stronę |url = https://www.cs.purdue.edu/homes/wxg/slidesTheodorus.pdf |tytuł = The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions |autor = Walter Gautschi |opublikowany = Purdue University, Department of Computer Science |data dostępu = 2017-07-27}}</ref>
<ref name="Teuffel1958-s148-152">{{cytuj pismo |nazwisko = Teuffel |imię = Erich |tytuł = Eine Eigenschaft der Quadratwurzelschnecke |czasopismo = Math.-Phys. Semesterber. |wolumin = 6 |rok = 1958 |strony = 148–152}}</ref>
<ref name="Theodorus of Cyrene">{{cytuj stronę |url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Theodorus.html |tytuł = Theodorus of Cyrene |autor = J.J. O’Connor, E.F. Robertson |opublikowany = MacTutor History of Mathematics |język = en |data dostępu = 2017-07-24}}</ref>
<ref name="Theodorus Spiral">{{MathWorld|adres=TheodorusSpiral |tytuł=Theodorus Spiral |data dostępu=2017-07-24}}</ref>
<ref name="zobaczycmatematyke.krk.pl">{{cytuj stronę |url = http://www.zobaczycmatematyke.krk.pl/przyklady/Majka/index.html |tytuł = Ślimak Teodorosa |autor = Mateusz Majka |opublikowany = zobaczycmatematyke.krk.pl |język = pl |data dostępu = 2017-07-13}}</ref>
}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Davis |imię = Philip J. |tytuł = Spirals. From Theodorus to Chaos |miejsce = Wellesley |wydawca = A. K. Peters |rok = 1993 |isbn = 1568810105 |odn = tak}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{Cytuj stronę |url = https://blogiceo.nq.pl/pitagorejskilas/grupa-iii/konstrukcja-slimaka-teodorosa/ |tytuł = Konstrukcja ślimaka Teodorosa |opublikowany = blogiceo.nq.pl |język = pl |data dostępu = 2017-07-13 |archiwum = https://web.archive.org/web/20110504082616/http://blogiceo.nq.pl/pitagorejskilas/grupa-iii/konstrukcja-slimaka-teodorosa/ |zarchiwizowano = 2011-05-04 }}
* {{MathWorld|adres=TheodorusSpiral |tytuł=Theodorus Spiral |data dostępu=2017-07-24}}

{{commonscat|Spiral of Theodorus}}

[[Kategoria:Konstrukcje klasyczne]]