Średnia różnica bezwzględna

Średnia różnica bezwzględna – miara rozrzutu równa średniej bezwzględnej różnicy dwóch niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie prawdopodobieństwa. Ogólniejszym pojęciem jest metryka probabilistyczna.

Definicja

Średnia różnica bezwzględna jest zdefiniowana jako "średnia" lub "wartość środkowa", formalnie wartość oczekiwana, modułu różnicy dwóch niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie. Ogólnie, dla zmiennych losowych $X$ i $Y$ o tym samym rozkładzie

$\mathrm{M}\mathrm{D}:=E[|X-Y|]$.

W przypadku dyskretnym średnia różnica bezwzględna przyjmuje postać

$\mathrm{M}\mathrm{D}=E[|X-Y|]=E_X[E_{Y|X}[|X-Y|]]=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n|x_i-y_j|$,

a w przypadku ciągłym średnia różnica bezwzględna przyjmuje postać

$\mathrm{M}\mathrm{D}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)f(y)|x-y|dxdy$.