Trójka uporządkowana

Trójka uporządkowana – zbiór zbudowany z obiektów $x,y,z$ tak, aby była określona kolejność tych elementów, oznaczany zazwyczaj symbolem $(x,y,z)$. Elementy trójki uporządkowanej nazywa się jej współrzędnymi. Przy powyższym zapisie, $x$ nazywa się pierwszą współrzędną, $y$ – drugą współrzędną, a $z$ – trzecią współrzędną.

Definicje formalne

Za pomocą pary zagnieżdzonej

Formalnie, przy pomocy pojęcia pary uporządkowanej, definiuje się trójkę uporządkowaną $(x,y,z)$ jako parę uporządkowaną $((x,y),z)$.

$(x,y,z)=((x,y),z)$

Korzystając z definicji pary Kuratowskiego, trójka wyglądałaby wówczas tak:

$(x,y,z)=\left\{\right\{\{\{x\},\{x,y\}\}\},\{\{\{x\},\{x,y\}\},z\left\}\right\}$

Analogicznie można zdefiniować n-kę uporządkowaną, dla każdego $n\ge 3$.

Minusem zagnieżdżeń par Kuratowskiego jest to. że w ostatecznej formule elementy dublują się (np. x występuje tam czterokrotnie więc przy podstawianiu konieczne będzie jego czterokrotne przepisanie), a ich liczba rośnie wykładniczo wraz $n$.

Za pomocą zbioru par

Można zdefiniować trójkę, numerując każdy element bezpośrednio, na podobnej zasadzie jak w parze Hausdorfa:

$(x,y,z)=\{(1,x),(2,y),(3,z)\}$

Należy zwrócić uwagę, że pary nie można zastąpić zwykłym zbiorem, ponieważ pojawiła by się niejednoznaczność, np. dla $(3,1,2)=\{\{1,3\},\{2,1\},\{3,2\}\}=\{\{1,2\},\{2,3\},\{3,1\}\}=(2,3,1)$.

Korzystając z definicji pary Hausdorffa, trójka wyglądała by wówczas tak:

$(x,y,z)=\{\{\{1\},\{2,x\}\},\{\{1,2\},\{2,y\}\},\{\{1,3\},\{2,z\}\}\}$

W takiej postaci, każdy element trójki występuje dokładnie jeden raz w ostatecznej formule.

Analogicznie można zdefiniować n-kę uporządkowaną, dla każdego $n\ge 3$:

$(x_1,x_2,...,x_n)=\{(1,x_1),(2,x_2),...,(n,x_n)\}$

Ta definicja bazuje na tej samej idei co definicja ciągu i jest prawidłowa również dla $n=\mathrm{\infty }$.

Własności i zastosowanie

Można udowodnić twierdzenie stwierdzające, że $(a,b,c)=(d,e,f)\iff (a=d\wedge b=e\wedge c=f)$.

Trójki uporządkowane stosowane są np. do zapisu współrzędnych punktów w przestrzeniach trójwymiarowych.