Metoda Pawłowskiego

Metoda Pawłowskiego – metoda doboru zmiennych objaśniających do modelu statystycznego (w szczególności modelu ekonometrycznego) stworzona przez Zbigniewa Pawłowskiego.

Załóżmy, że istnieje zbiór $X=\{X_1,X_2,\dots ,X_p\}$ potencjalnych zmiennych objaśniających dla zmiennej objaśnianej $Y.$ Do modelu może wejść $m$ zmiennych, gdzie $m<p.$

Wybieramy taką kombinację, która zapewnia z góry ustaloną dokładność opisu zmiennej $Y$ oraz możliwie najmniejsze skorelowanie między $m$-elementową kombinacją zmiennych objaśniających.

Aby model był dokładny zakłada się, że wartość współczynnika korelacji wielorakiej między zmienną endogeniczną a $m$-elementowym zbiorem zmiennych objaśniających była nie mniejsza niż z góry zadana liczba $\delta >0.$

Oznaczamy $r_j$ jako współczynnik korelacji między zmienną objaśnianą $Y$ a zmienną objaśniającą $X_j,$ a także współczynnik korelacji $r_{jl}$ między zmiennymi objaśniającymi $X_j$ i $X_l.$ Otrzymane współczynniki korelacji między zmiennymi objaśniającymi tworzą macierz korelacji $R,$ natomiast współczynniki korelacji między zmienną objaśnianą i zmiennymi objaśniającymi wektor korelacji $R_0:$

$R=\left[\begin{array}{cccc}1& r_{12}& ...& r_{1m}\\ r_{21}& 1& ...& r_{2m}\\ ...& ...& ...& ...\\ r_{m1}& r_{m2}& ...& 1\end{array}\right],R_0=\left[\begin{array}{c}{r}_1\\ r_2\\ ...\\ r_m\end{array}\right].$

Następnie budujemy tzw. macierz rozszerzoną $R^{*}:$

$R^{*}=\left[\begin{array}{cc}1& R_0^T\\ R_0& R\end{array}\right].$

Macierze $R$ oraz $R^{*}$ wykorzystujemy do budowy współczynnika korelacji wielorakiej $R,$ który jest miarą liniowej zależności między zmienną objaśnianą a liniową kombinacją zmiennych objaśniających. Obliczany jest ze wzoru:

$R=\sqrt{1-\frac{|R^{*}|}{|R|}}\in [0,1],$

gdzie:

• $|R^{*}|$ – wyznacznik macierzy korelacji $m$-elementowej kombinacji zmiennych objaśniających, do której dołączono wektor współczynników korelacji zmiennej endogenicznej ze zmiennymi objaśniającymi,
• $|R|$ – wyznacznik z macierzy korelacji $m$-elementowej kombinacji zmiennych objaśniających.

Współczynnik korelacji wielorakiej przyjmuje wartości z przedziału $[0,1].$ Jeżeli $R=0,$ to nie ma zależności liniowej, natomiast gdy $R=1,$ to między zmienną objaśniana a liniową kombinacją zmiennych objaśniających zachodzi zależność funkcyjna liniowa. W związku z tym, im wyższa jest wartość współczynnika, tym większa jest zależność funkcyjna.

Aby wybrać optymalną kombinację, rozpatrujemy wszystkie $m$-elementowe kombinacje, jakie można utworzyć ze zbioru X potencjalnych zmiennych objaśniających. Następnie wybieramy te kombinacje, które spełniają warunek dokładności $(R⩾\delta ),$ a tworzą one zbiór kombinacji dopuszczalnych. Wśród wybranych kombinacji poszukuje się najlepszej, czyli takiej, w której zmienne objaśniające są najsłabiej skorelowane między sobą.

Za optymalną przyjmuje się taką kombinację $m$ zmiennych, gdzie wyznacznik z macierzy korelacji jest największy $(R=\max ),$ ponieważ im wyznacznik jest bliższy jedności, tym zmienne są słabiej skorelowane.

Bibliografia

• A. Barczak, J. Biolik, Podstawy ekonometrii, Wydawnictwo AE Katowice, Katowice 2003, Szablon:ISBN.
• J. Dziechciarz, Ekonometria. Metody, przykłady, zadania, Wydawnictwo AE we Wrocławiu, Wrocław 2002, Szablon:ISBN.