Hiperskończony faktor typu II1

Hiperskończony faktor typu II₁ – jedyny z dokładnością do izomorfizmu faktor $R$ (tj. algebra von Neumanna o trywialnym centrum), działający na ośrodkowej przestrzeni Hilberta, mający skończony ślad oraz, którego suma skończenie wymiarowych pod-C*-algebr jest gęsta w słabej topologii operatorowej. Jedyność $R$ została udowodniona przez Murraya i von Neumanna^[1].

Własności

Hiperskończony faktor typu II₁ $R$ jest minimalny w tym sensie, że każdy nieskończenie wymiarowy faktor $N$ zawiera $R .$ Co więcej, każdy faktor zawarty w $R$ jest izomorficzny z $R .$
Dla każdego niezerowego rzutu $p \in R$ istnieje izomorfizm $p R p ≅ R .$
$K_{0} (R) = ℝ .$
$R$ jest injektywną algebrą von Neumanna. Injektywność oznacza tutaj injektywność w klasie systemów operatorowych z morfizmami będącymi całkowicie dodatnimi odwzorowaniami liniowymi. (Wynika to z twierdzenia mówiącego, że w klasie faktorów pojęcia injektyności i hiperskończoności pokrywają się). Czasami $R$ jest definiowane jako jedyna injektywny faktor o skończonym śladzie działający na ośrodkowej przestrzeni Hilberta.
Dla każdej ośrodkowej algebry UHF $A$ istnieje izomorfizm $R ≅ A^{* *} .$ W szczególności, $R$ jest granicą prostą ciągu induktywnego algebr macierzy $M_{2}^{k} (ℂ)$ (w kategorii algebr von Neumanna)

M_{2} (ℂ) ⟶ M_{2^{2}} (ℂ) ⟶ M_{2^{3}} (ℂ) ⟶ \dots,

gdzie każdy morfizm

M_{2}^{k} (ℂ) \to M_{2}^{k + 1} (ℂ)

zachowuje jedność.

↑ F.J. Murray, J. von Neumann, On rings of operators IV Ann. of Math. (2), 44 (1943), 716–808.