Szereg Neumanna

Szereg Neumanna – szereg będący odwrotnością rezolwenty w przestrzeni unormowanej. Dla operatora $T:X\to X$ na przestrzeni unormowanej $X$ oznaczamy przez $T^0=\text{id}$ oraz $T^{k+1}=T^k\circ T$ jego złożenie. Wtedy szeregiem Neumanna nazywamy szereg

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{T}^k$

zbieżny w normie operatorowej.

Szereg nosi nazwisko Carla Neumanna, w którego pracy pojawił się po raz pierwszy w 1877 r. w kontekście teorii potencjału. Szereg Neumanna jest uogólnieniem szeregu potęgowego.

Własności

Jeżeli $X$ jest przestrzenią Banacha, $\Vert \cdot {\Vert }_X$ odpowiadającą normą operatorową oraz $\Vert T{\Vert }_X<1$, to oznaczając przez $S_n$ ciąg sum częściowych,

$\Vert S_m-S_n{\Vert }_X={\Vert \sum _{k=n+1}^m{T}^k\Vert }_X⩽\sum _{k=n+1}^m\Vert T^k{\Vert }_X⩽\sum _{k=n+1}^m\Vert T{\Vert }_X^k⩽\sum _{k=n+1}^{\mathrm{\infty }}\Vert T{\Vert }_X^k=\frac{\Vert T{\Vert }_X^{n+1}}{1-\Vert T{\Vert }_X}$,

dlatego $S_n$ jest ciągiem Cauchy'ego, więc jest zbieżny. Ponadto, wtedy

$(\text{id}-T)S_n=\sum _{k=0}^n{T}^k-\sum _{k=1}^{n+1}{T}^k=\text{id}-T^{n+1}$,

co dąży do operatora identycznościowego, gdy $n\to \mathrm{\infty }$ oraz

$S_n(\text{id}-T)=\sum _{k=0}^n{T}^k-\sum _{k=1}^{n+1}{T}^k=\text{id}-T^{n+1}$,

więc szereg Neumanna jest równy $(\text{id}-T{)}^{-1}$. W ogólności, jeśli

$R_{\lambda }(T)=(T-\lambda \text{id}{)}^{-1}$

dla $\lambda \in \rho (T)$ (poza spektrum $T$) jest rezolwentą operatora $T$, to szereg Neumanna

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^k{T}^k$

jest równy $R_{\lambda }(T)$.

Korzystając z szeregu Neumanna można wykazać przy powyższych założeniach, że

$\Vert R_{\lambda }(T){\Vert }_X⩽\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}|\lambda {|}^k\Vert T{\Vert }_X^k=\frac{1}{1-|\lambda |\Vert T{\Vert }_X}$.

Analogicznie można wykazać, że

$\Vert R_{\lambda }(T)-\text{id}{\Vert }_X⩽\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|\lambda {|}^k\Vert T^k{\Vert }_X⩽\frac{|\lambda |\Vert T{\Vert }_X}{1-|\lambda |\Vert T{\Vert }_X}$.