Nierówność Karamaty

Nierówność Karamaty - nierówność w matematyce nazwana imieniem jugosłowiańskiego matematyka Jovana Karamaty.

Treść twierdzenia

Definicje wstępne

Niech dane będą dwa ciągi liczb rzeczywistych $X=(x_1,x_2,\dots ,x_n),Y=(y_1,y_2,\dots ,y_n)$. Jeśli są one nierosnące, a ponadto zachodzą nierówności $x_1+x_2+\dots +x_k⩾y_1+y_2+\dots +y_k$ dla $k\in \{1,2,\dots ,n-1\}$ oraz równość $x_1+x_2+\dots +x_n=y_1+y_2+\dots +y_n$, to powiemy, że ciąg $X$ majoryzuje ciąg $Y$ i będziemy ten fakt oznaczali symbolem $Y\prec X.$

Nierówność Karamaty

Niech $f:(a,b)\to ℝ$ będzie funkcją wypukłą, $x_1,x_2,\dots ,x_n,y_1,y_2,\dots ,y_n\in (a,b)$, a ponadto $Y=(y_1,\dots ,y_n)\prec X=(x_1,\dots ,x_n)$. Wówczas zachodzi nierówność

$f(x_1)+f(x_2)+\dots +f(x_n)⩾f(y_1)+f(y_2)+\dots +f(y_n).$

Dowód

Lemat: Jeśli $f$ jest funkcją wypukłą, to dla $x<y<z$ należących do jej dziedziny zachodzą nierówności

$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}⩽\frac{f(z)-f(x)}{z-x}⩽\frac{f(z)-f(y)}{z-y}.$

Dowód lematu:

Ponieważ $f$ jest funkcją wypukłą, więc z nierówności Jensena zachodzi

$f(y)=f(\frac{y-x}{z-x}\cdot z+\frac{z-y}{z-x}\cdot x)⩽\frac{y-x}{z-x}\cdot f(z)+\frac{z-y}{z-x}\cdot f(x),$

co po obustronnym przemnożeniu przez $z-x$ można doprowadzić do postaci

$(z-y)(f(z)-f(x))⩽(z-x)(f(z)-f(y)),$

która jest równoważna nierówności $\frac{f(z)-f(x)}{z-x}⩽\frac{f(z)-f(y)}{z-y}.$

Lewą nierówność udowadniamy analogicznie, przez sprowadzenie początkowej nierówności do postaci

$(z-x)(f(y)-f(x))⩽(y-x)(f(z)-f(x)).$

Dowód właściwego twierdzenia:

Bez straty ogólności możemy założyć, że $f(x_k)\ne f(y_k)$ dla $k=1,2,\dots ,n$. W przeciwnym razie bowiem wystarczyłoby stronami odjąć wyrażenia $f(x_k)$ i $f(y_k)$. Wprowadźmy oznaczenia $D_k=\frac{f(x_k)-f(y_k)}{x_k-y_k},$ $X_k=\sum _{i=1}^k{x}_i$ oraz $Y_k=\sum _{i=1}^k{y}_i.$ Korzystając z przekształcenia Abela otrzymujemy

$\sum _{k=1}^n(f(x_k)-f(y_k))=\sum _{k=1}^n(x_k-y_k)D_k=\sum _{k=1}^{n-1}(X_k-Y_k)(D_k-D_{k+1})+(X_n-Y_n)D_n.$

W takim razie $\sum _{k=1}^n(f(x_k)-f(y_k))⩾0,$ ponieważ na mocy lematu $D_k-D_{k+1}⩾0,$ a ponadto $X_k⩾Y_k$, gdyż $Y\prec X,$ więc wszystkie składniki prawej strony są dodatnie.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę