Równanie szlifierzy soczewek

Równanie szlifierzy soczewek – równanie opisujące zależność ogniskowej soczewki sferycznej od promieni krzywizn jej powierzchni.

Postać ogólna równania

Ogniskową $f$ soczewki sferycznej o promieniach krzywizn równych $R_1$ oraz $R_2$ oraz o grubości $D,$ wykonanej z materiału o współczynniku załamania $n$ można wyrazić za pomocą wzoru:

$\frac{1}{f}=(\frac{n}{n_0}-1)[\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+(\frac{n_0}{n}-1)\frac{D}{R_1{R}_2}],$

gdzie $n_0$ jest współczynnikiem załamania materiału otoczenia soczewki.

Równanie jest całkowicie czułe na znaki zawartych w nim wielkości (tzn. różne znaki $R_1$ i $R_2$ skutkują poprawnym znakiem $f$). Promienie $R_1$ i $R_2$ uznaje się za dodatnie, kiedy soczewka jest z danej strony wypukła oraz za ujemne dla powierzchni wklęsłych.

Uproszczenia równania

Cienka soczewka

W przypadku cienkiej soczewki można przyjąć $D\approx 0$ i powyższe równanie upraszcza się do:

$\frac{1}{f}=(\frac{n}{n_0}-1)(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}).$

Soczewka w powietrzu

W powietrzu $n_0\approx 1,$ przez co wzór upraszcza się do:

$\frac{1}{f}=(n-1)(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}).$

W dalszych rozważaniach przyjęto właśnie powyższą postać wzoru.

Różne cienkie soczewki sferyczne

Poniżej przedstawiono uproszczone wzory opisujące różne rodzaje soczewek sferycznych. Dla ułatwienia czytelności i użycia, promienie krzywizn przedstawiono w postaci ich wartości bezwzględnych. Tak więc znak stojący po znaku równości jest równocześnie znakiem ogniskowej soczewki.

Rodzaj soczewki sferycznej	Warunek	Postać wzoru
Symetrycznie dwuwypukła	$\{\begin{array}{c}{R}_1=R_2=R\\ R>0\end{array}$	$\frac{1}{f}=\frac{2}{|R|}(n-1)$
Symetrycznie dwuwklęsła	$\{\begin{array}{c}{R}_1=R_2=R\\ R<0\end{array}$	$\frac{1}{f}=-\frac{2}{|R|}(n-1)$
Płasko-wypukła	$\{\begin{array}{c}{R}_1=\mathrm{\infty }\\ R_2=R\\ R>0\end{array}$	$\frac{1}{f}=\frac{1}{|R|}(n-1)$
Płasko-wklęsła	$\{\begin{array}{c}{R}_1=\mathrm{\infty }\\ R_2=R\\ R<0\end{array}$	$\frac{1}{f}=-\frac{1}{|R|}(n-1)$

Soczewka kulista

W mikro-optyce stosuje się niekiedy soczewki mające postać kul. Wtedy $R_1=R_2=D/2=R$ i równanie szlifierzy przyjmuje postać:

$\frac{1}{f}=\frac{2}{R}\frac{n-n_0}{n},$

zaś w powietrzu:

$\frac{1}{f}=\frac{2}{R}\frac{n-1}{n}.$

Zastosowanie

Równanie szlifierzy soczewek jest powszechnie używane w produkcji przyrządów optycznych ze względu na jego przejrzystość oraz prostotę pomiaru wymaganych wielkości.

Wzór ten jest jednak jedynie przybliżeniem, które nie uwzględnia grubości soczewki oraz zjawisk optycznych z nią związanych. W rzeczywistości bowiem, propagacja światła wewnątrz soczewki ma wpływ na jej ogniskową. Wzór zakłada również perfekcyjną jednolitość materiału, z którego została wykonana soczewka.

W pracy teoretycznej, użycie wzoru pozwala (ze względu na prostotę jego przekształceń i uproszczeń) na stosunkowo łatwe opisanie krzywizny soczewki lub współczynnika załamania danego materiału oraz ich zależności od położenia ogniska soczewki.