Współczynniki Clebscha-Gordana

Współczynniki Clebscha-Gordana – współczynniki liczbowe pojawiające się w rozkładzie stanów kwantowych, będących stanami własnymi operatorów momentu pędu, spinu bądź izospinu. Wartości współczynników Clebscha-Gordana są stabelaryzowane. Współczynniki te zostały wprowadzone przez niemieckich matematyków Alfreda Clebscha i Pawła Gordana, w związku z rozwojem teorii niezmienników. Szablon:Osobny artykuł

Sprzężenie dwóch stanów kwantowych

Jeżeli dwa stany kwantowe $|j_1,m_1⟩$ oraz $|j_2,m_2⟩$ opisane liczbami kwantowymi momentu pędu orbitalnego/spinowego $j_1$ oraz $j_2$ oraz liczbami kwantowymi $m_1$ oraz $m_2,$ opisującymi rzuty wektorów momentu pędu na wybraną oś $z$ sprzęgają się ze sobą, to powstający stan jest superpozycją stanów $|j,m⟩,$ tj.

$|j_1,m_1⟩|j_2,m_2⟩=\sum _j{C}_{m{m}_1{m}_2}^{j{j}_1{j}_2}|j,m⟩$

przy czym:

• $m=m_1+m_2$
• $j⩾|m|,$ $j\in \{|j_1-j_2|,|j_1-j_2|+1,\dots ,j_1+j_2\},$
• $C_{m{m}_1{m}_2}^{j{j}_1{j}_2}$ – współczynniki Clebscha-Gordana.

Rozkład danego stanu sprzężonego

Słuszna jest też relacja odwrotna, pozwalająca znaleźć rozkład danego stanu sprzężonego $|j,m⟩$ w bazie $|j_1,m_1⟩|j_2,m_2⟩$ stanów niesprzężonych

$|j,m⟩=\sum _{j_1,j_2}\sum _{m_1,m_2}{C}_{m{m}_1{m}_2}^{j{j}_1{j}_2}|j_1,m_1⟩|j_2,m_2⟩$

przy czym $m_1,m_2$ oraz $j_1,j_2$ takie że:

• $m_1+m_2=m,$
• $|j_1-j_2|=j$ lub $|j_1-j_2|+1=j$ lub $\dots ,j_1+j_2=j.$

Stany kwantowe operatora izospinu

Współczynniki Clebscha-Gordana znajdują ważne zastosowanie w znajdowaniu stanów po sprzężeniu stanów izospinowych oddziałujących cząstek lub w rozkładzie stanu sprzężonego w bazie dwóch stanów niesprzężonych – pozwala to np. obliczać amplitudy rozpraszania oddziałujących cząstek lub względne prawdopodobieństwa rozpadu danej cząstki na inne cząstki elementarne. Z uwagi na to, że operatory izospinu $\hat{I}$ i rzutu izospinu ${\hat{I}}_3$ na wybraną oś mają identyczne własności algebraiczne jak operatory orbitalnego i spinowego momentu pędu, współczynniki Clebscha-Gordana są takie same, jak w przypadku stanów momentu pędu.

Przykład: sprzężenie stanów $j_1=1/2,j_2=1/2$

Omówimy tu sposób wykorzystania tabel ze współczynnikami C-G na podstawie przypadku sprzęgania stanów o liczbach kwantowych $j_1=1/2,j_2=1/2.$

(1) W kolejnych wierszach tabel podane są możliwe wartości $j,m,m_1,m_2.$

(2) Współczynniki C-G dla danych wartości $j,m$ i wartości $m_1,m_2$ są na skrzyżowaniu kolumny z wartościami $j,m$ oraz wiersza w wartościami $m_1,m_2$ – podano je wytłuszczonym drukiem.Przy czym z podanych wartości liczbowych należy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy, zostawiając ewentualny znak – przed pierwiastkiem.

$j_1=1/2j_2=1/2$

	j	1
	m	1
m1, m2	+1/2, +1/2	1

cd. $j_1=1/2j_2=1/2$

	j	1	0
	m	0	0
m1, m2	1/2, −1/2	1/2	1/2
m1, m2	−1/2, 1/2	1/2	−1/2

cd. $j_1=1/2j_2=1/2$

	j	1
	m	−1
m1, m2	−1/2, −1/2	1

Np. dla $m_1=+1/2,m_2=-1/2$ mamy

• dla $j=1,m=0$ współczynnik $C=1/\sqrt{2}$
• dla $j=0,m=0$ współczynnik $C=1/\sqrt{2}$

Na podstawie tabel odczytujemy: (a) stany $|1/2,+1/2⟩,|1/2,+1/2⟩$ sprzęgają się w stan $|1,+1⟩,$ tj.

$|1/2,+1/2⟩|1/2,+1/2⟩=|1,+1⟩$

(b) stany $|1/2,+1/2⟩|1/2,-1/2⟩$ sprzęgają się w superpozycję stanów $|1,0⟩,|0,0⟩,$ tj.

$|1/2,+1/2⟩|1/2,-1/2⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|1,0⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|0,0⟩$

(c) stany $|1/2,-1/2⟩|1/2,+1/2⟩$ sprzęgają się w superpozycję stanów $|1,0⟩,|0,0⟩,$ tj.

$|1/2,-1/2⟩|1/2,+1/2⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|1,0⟩-\frac{1}{\sqrt{2}}|0,0⟩$

(d) stany $|1/2,-1/2⟩|1/2,-1/2⟩$ sprzęgają się w stan $|1,-1⟩,$ tj.

$|1/2,-1/2⟩|1/2,-1/2⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|1,-1⟩$

Przykład: Rozkład danego stanu sprzężonego

Na podstawie powyższych tabel można znaleźć rozkład danego stanu sprzężonego $|j,m⟩$ w bazie $|j_1,m_1⟩|j_2,m_2⟩$ stanów niesprzężonych: tym razem znajdujemy tabelę z odpowiednimi wartościami $j,m,$ a następnie odczytujemy współczynniki C-G w kolumnie, odpowiadającej tym wartościom.

Np. niech $j=1,j_1=j_2=1/2;$ wtedy liczby $m_j,m_{j_1},m_{j_2}$ mogą mieć wartości:

$m_j=+1,0,-1,$

$m_{j_1}=+1/2,-1/2,$

$m_{j_2}=+1/2,-1/2.$

Na podstawie tabel odczytujemy:

(a) stan $|1,+1⟩$ rozkłada się w pojedynczy sposób

$|1,+1⟩=|1/2,+1/2⟩|1/2,+1/2⟩$

(b) stan $|1,0⟩$ rozkłada się na superpozycję stanów

$|1,0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|1/2,+1/2⟩|1/2,-1/2⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|1/2,-1/2⟩|1/2,+1/2⟩$

(c) stan $|1,-1⟩$ rozkłada się w pojedynczy sposób

$|1,+1⟩=|1/2,+1/2⟩|1/2,+1/2⟩$

(d) stan $|0,0⟩$ rozkłada się na superpozycję stanów

$|0,0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|1/2,+1/2⟩|1/2,-1/2⟩-\frac{1}{\sqrt{2}}|1/2,-1/2⟩|1/2,+1/2⟩$

Bibliografia

• David J. Griffiths, Introduction to Elementary particles, Cambridge University Press 2008.