Wieloczynnikowa analiza wariancji

Wieloczynnikowa analiza wariancji jest testem statystycznym służącym ocenie wpływu wielu zmiennych niezależnych (czynników) na wartość rozpatrywanej zmiennej zależnej. Za analizę wieloczynnikową przyjmuje się taką, w której mamy do czynienia z co najmniej dwoma zmiennymi niezależnymi (czynnikami klasyfikującymi).

Założenia

Wyniki uzyskane metodą analizy wieloczynnikowej uznaje się za prawdziwe, o ile spełnione są następujące założenia:

• każda populacja musi mieć rozkład normalny,
• wariancje w populacjach są równe.

Teoria

Omówmy podstawy analizy wieloczynnikowej na przykładzie 2-czynnikowej analizy wariancji.

Podobnie jak w przypadku analizy jednoczynnikowej, tak i teraz wpływ zmiennych niezależnych na zmienną zależną weryfikowany jest z uwzględnieniem wielu ich poziomów – dla przykładu, zmienna niezależna pn. „satysfakcja pacjenta z terapii lekowej” może być rozpatrywana na 4 poziomach: terapia lekiem I, terapia lekiem II, terapia lekiem III, terapia przy użyciu placebo. Analiza wieloczynnikowa prowadzi zatem do wskazania, jak na zmienną zależną wpływają:

• czynniki klasyfikujące (zmienne niezależne) – oznaczane z reguły wielkimi literami (A, B, C itd.);
• wzajemne interakcje między czynnikami klasyfikującymi (zmiennymi niezależnymi) – oznaczane poprzez wskazanie współzależnych czynników (AB, AC itd.);
• poziomy czynników klasyfikujących (zmiennych niezależnych) – oznaczane z reguły małymi literami (a, b, c itd.).

Co istotne, ponieważ wieloczynnikowa analiza wariancji uwzględnia interakcję czynników (zmiennych niezależnych) między sobą – czyni to niezasadnym metodologicznie wielokrotne stosowanie jednoczynnikowych analiz wariancji dla każdego z rozpatrywanych czynników kwalifikujących.

Załóżmy zatem, że spełnione są ww. założenia, a we wszystkich podgrupach wyznaczonych przez czynniki klasyfikujące A (niech tworzy go a-poziomów) i B (niech tworzy go b-poziomów) znajduje się taka sama liczba obserwacji (k).

Układ hipotez zerowych jest następujący:

• $H_{A0}:$ Czynnik A nie wpływa na zmienną zależną.
• $H_{B0}:$ Czynnik B nie wpływa na zmienną zależną.
• $H_{AB0}:$ Wzajemna interakcja czynników AB nie wpływa na zmienną zależną.

Dla każdego z czynników A, B (źródeł zmienności) oraz interakcji AB wyznaczany jest osobny zestaw parametrów, na które składają się: liczba stopni swobody $({\upsilon }_z),$ suma kwadratów odchyleń $(S{S}_z)$ oraz średni kwadrat odchyleń $(M{S}_z).$ Parametry te stanowią podstawę do obliczenia wartości statystyki testowej $(F_z).$ Statystyka $F_z$ ma, przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej, rozkład F Snedecora o liczbie stopni swobody odpowiadającej ${\upsilon }_z$ i czynnikowi losowemu $e$ (błąd).

Komplet przydatnych wzorów, z uwzględnieniem powyższych uwarunkowań, zestawiono poniżej:

• liczba stopni swobody: ${\upsilon }_A=a-1,$ ${\upsilon }_B=b-1,$ ${\upsilon }_{AB}=(a-1)\cdot (b-1),$ $e=n-ab.$

• suma kwadratów odchyleń: $S{S}_A=bk\sum _{i=1}^a(\overline{y_{i\cdot \cdot }}-\bar{y}{)}^2,$ $S{S}_B=ak\sum _{j=1}^b(\overline{y_{\cdot j\cdot }}-\bar{y}{)}^2,$ $S{S}_{AB}=k\sum _{i=1}^a\sum _{j=1}^b(\overline{y_{ij\cdot }}-\overline{y_{i\cdot \cdot }}-\overline{y_{\cdot j\cdot }}+\bar{y}{)}^2,$ $S{S}_e=\sum _{i=1}^a\sum _{j=1}^b\sum _{l=1}^k(y_{ijl}-\overline{y_{ij\cdot }}{)}^2.$

• średni kwadrat odchyleń: $M{S}_A=\frac{S{S}_A}{{\upsilon }_A}=\frac{S{S}_A}{a-1},$ $M{S}_B=\frac{S{S}_B}{{\upsilon }_B}=\frac{S{S}_B}{b-1},$ $M{S}_{AB}=\frac{S{S}_{AB}}{{\upsilon }_{AB}}=\frac{S{S}_{AB}}{(a-1)(b-1)},$ $M{S}_e=\frac{S{S}_e}{{\upsilon }_e}=\frac{S{S}_e}{n-ab}.$
• statystyka testowa: $F_A=\frac{M{S}_A}{M{S}_e},$ $F_B=\frac{M{S}_B}{M{S}_e},$ $F_{AB}=\frac{M{S}_{AB}}{M{S}_e}.$
• wartość krytyczna odczytywana z tablic: $F_{v_A,v_e},$ $F_{v_B,v_e},$ $F_{v_{AB},v_e}.$

Jeżeli w świetle dokonanych szacunków, przy ustalonej wartości poziomu istotności $\alpha$, odczytana z tablic wartość krytyczna $F_{v_z,v_e}$ jest mniejsza od wyliczonej wartości statystyki testowej $F_z$ – odrzucamy hipotezę zerową $H_0$ na rzecz hipotezy alternatywnej $H_1$.

Zobacz też

• analiza wariancji
• próba statystyczna
• test dla średniej
• test dla wariancji
• weryfikacja hipotez statystycznych