Dyskretyzacja kontinuum

Dyskretyzacja kontinuum stanowi dzisiaj podstawę większości metod rozwiązywania zagadnień mechaniki ośrodków ciągłych. Koncepcja dyskretyzacji została matematycznie uogólniona między innymi dla zastosowań numerycznego całkowania równań różniczkowych i teorii aproksymacji. Interesujący jest fakt, że idea dyskretyzacji znalazła swój początek w mechanice budowli, a konkretnie w metodzie przemieszczeń stosowanej od dawna w obliczeniach konstrukcji budowlanych.

Idea dyskretyzacji

Istota dyskretyzacji polega na tym, że opis pola przemieszczeń $\overrightarrow{u}ϵR^3$ punktu kontinuum, o wektorze wodzącym $\overrightarrow{r}ϵR^3,$ za pomocą funkcji ciągłej $\overrightarrow{u}(\overrightarrow{r}),$ zostaje zastąpiony opisem dyskretnym.

Opis ten polega na tym, że rozważane kontinuum zostaje podzielone na elementy o skończonych wymiarach (tzw. elementy skończone) z wyróżnionymi punktami węzłowymi. W każdym węźle, w przypadku ogólnym, zostaje wprowadzone po sześć parametrów geometrycznych (trzy przemieszczenia liniowe i trzy kątowe). Pole przemieszczeń wewnątrz każdego z elementów jest aproksymowane za pomocą prostych funkcji np. odpowiednich wielomianów, zbudowanych na bazie parametrów węzłowych. W ten sposób pole przemieszczeń całego rozważanego kontinuum zostaje opisane za pomocą wektora

$\overrightarrow{Q}(t)=[Q_1(t),Q_2(t),\dots Q_n(t){]}^T$

o skończonej, zazwyczaj dużej, liczbie współrzędnych (parametrów węzłowych). Otrzymuje się w ten sposób dyskretny model kontinuum. Dzięki temu własności sprężyste, tłumiące i bezwładnościowe mogą być w sposób jednoznaczny opisane za pomocą trzech macierzy (bezwładności, tłumienia i sztywności) o skończonych wymiarach, odpowiednio

$K=\left[\begin{array}{cccc}{k}_{11}& k_{12}& \dots & k_{1n}\\ k_{21}& k_{22}& \dots & k_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ k_{n1}& k_{n2}& \dots & k_{nn}\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& \dots & c_{1n}\\ c_{21}& c_{22}& \dots & c_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ c_{n1}& c_{n2}& \dots & c_{nn}\end{array}\right],M=\left[\begin{array}{cccc}{m}_{11}& m_{12}& \dots & m_{1n}\\ m_{21}& m_{22}& \dots & m_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ m_{n1}& m_{n2}& \dots & m_{nn}\end{array}\right].$

Równanie ruchu

Równanie równowagi (ruchu) modelu dyskretnego można zapisać, wykorzystując zasadę d’Alemberta, w postaci sumy sił czynnych działających na ten model

$\overrightarrow{B}(t)+\overrightarrow{T}(t)+\overrightarrow{S}(t)+\overrightarrow{P}(t)=0,$

gdzie:

$\overrightarrow{B}(t)$ – wektor sił bezwładności,

$\overrightarrow{T}(t)$ – wektor sił tłumiących,

$\overrightarrow{S}(t)$ – wektor sił sprężystych,

$\overrightarrow{P}(t)$ – wektor sił obciążających (wymuszających).

Uwzględniając związki

$\overrightarrow{B}(t)=-M\ddot{\overrightarrow{Q}}(t),\overrightarrow{T}(t)=-C\dot{\overrightarrow{Q}}(t),\overrightarrow{S}(t)=-K\overrightarrow{Q}(t)$

otrzymujemy równanie

$M\ddot{\overrightarrow{Q}}(t)+C\dot{\overrightarrow{Q}}(t)+K\overrightarrow{Q}(t)=\overrightarrow{P}(t)\text{. (a)}$

opisujące ruch modelu o n stopniach swobody.

Macierze $M,C,K$ można też zapisać następująco

$M=[{\overrightarrow{m}}_1,{\overrightarrow{m}}_2,\dots {\overrightarrow{m}}_n],C=[{\overrightarrow{c}}_1,{\overrightarrow{c}}_2,\dots {\overrightarrow{c}}_n],K=[{\overrightarrow{k}}_1,{\overrightarrow{k}}_2,\dots {\overrightarrow{k}}_n]$

i wówczas wektory ${\overrightarrow{m}}_j,{\overrightarrow{c}}_j,{\overrightarrow{k}}_j$ mogą być interpretowane jako reakcje więzów węzłowych (siły bierne) równoważące działanie sił czynnych spowodowanych odpowiednio: jednostkowym przyspieszeniem ${\ddot{Q}}_j=1,$ jednostkową prędkością ${\dot{Q}}_j=1$ i jednostkowym przemieszczeniem $Q_j=1.$

Korzystając z tej interpretacji można obliczyć wartości poszczególnych elementów macierzy M, C i K.

Równanie o postaci (a) stanowi podstawę analizy statycznej i dynamicznej modeli o skończonej liczbie stopni swobody.

Agregacja

Macierze M, C i K, występujące w równaniu (a) i opisujące ruch całego modelu dyskretnego, nazywane są macierzami globalnymi zwykle o znacznych rozmiarach. W praktyce obliczeniowej powstają one z małych macierzy lokalnych opisujących własności poszczególnych elementów skończonych. Odbywa się to w procesie nazywanym agregacją. Polega ona na wykorzystaniu faktu, że elementy sąsiadujące ze sobą mają wspólne stopnie swobody. Z tego powodu elementy małych macierzy lokalnych są odpowiednio rozmieszczane (i sumowane) w dużych macierzach globalnych na właściwych miejscach. Agregacja stanowi procedurę istotną i charakterystyczną dla metody elementów skończonych.