Metoda iteracji

Metoda iteracji prostej – metoda obliczania miejsca zerowego $x^{*}$ funkcji $f(x)$ ciągłej w przedziale izolacji $[a,b],$ czyli pierwiastka równania $f(x)=0.$ Równanie to można zapisać inaczej

$x=\phi (x),$ gdzie $\phi (x)=x+\alpha f(x).$

Metoda polega na tworzeniu ciągu liczbowego $C=x_0,x_1,\dots x_n$ zgodnie z regułą iteracyjną (rekurencyjną)

$x_{n+1}=\phi (x_n)$ dla $n=0,1,2,\dots$

Zbieżność procesu iteracyjnego do granicy $x^{*}\in [a,b]$ zależy od właściwego wyboru wartości parametru $\alpha$ oraz spełnienia warunków

$x_0\in [a,b],f(a)\cdot f(b)<0$ oraz $|{\phi }^{\text{'}}(x)|<1$ dla $x\in [a,b].$

Opisany proces iteracyjny może być uogólniony na przypadek układu równań o postaci

$f_i(\overrightarrow{x})=0,i=1,2,\dots n,\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,\dots x_n).$

Równania te można zapisać inaczej

$x_i={\phi }_i(\overrightarrow{x}),$ gdzie ${\phi }_i(\overrightarrow{x})=x_i+{\alpha }_i{f}_i(\overrightarrow{x}),i=1,2,\dots n.$

Rekurencyjna formuła iteracyjna przybiera postać

${\overrightarrow{x}}^{(m+1)}=\phi ({\overrightarrow{x}}^{(m)}),m=0,1,2,\dots$

Zbieżność procesu iteracyjnego zależy od właściwego wyboru wartości parametrów ${\alpha }_i$ i spełnienia następujących warunków

${\overrightarrow{x}}^{(0)}\in U^n,\left|\frac{\partial {\phi }_i(\overrightarrow{x})}{\partial x_i}\right|<1,i=0,1,2,\dots ,n,\overrightarrow{x}\in U^n,$

gdzie przez $U^n\subset R^n$ oznaczono dostatecznie mały obszar izolacji rozwiązania ${\overrightarrow{x}}^{*}$ będącego granicą ciągu ${\overrightarrow{x}}^{(0)},{\overrightarrow{x}}^{(1)},{\overrightarrow{x}}^{(2)},\dots$ Określenie tego obszaru nie jest łatwe, ale konieczne dla zapewnienia zbieżności iteracji do poszukiwanego rozwiązania. Wymaga to dostatecznie szczegółowej analizy wstępnej.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę