Iloczyn Blaschkego

Iloczyn Blaschkego – funkcja analityczna ograniczona na otwartym kole jednostkowym. Funkcja ta jest skonstruowana w taki sposób, by posiadać ciąg (skończony lub nieskończony) liczb zespolonych $a_0,a_1,\dots$ wewnątrz koła jednostkowego.

Iloczyn Blaschkego jest powiązany z przestrzenią Hardy’ego. Po raz pierwszy został zaproponowany w 1915 roku przez Wilhelma Blaschkego.

Definicja formalna

Ciąg punktów $(a_n)$ wewnątrz koła jednostkowego spełnia warunki Blaschkego jeżeli

$\sum _n(1-|a_n|)<\mathrm{\infty }.$

Wykorzystując taki ciąg, iloczyn Blaschkego jest zdefiniowany jako

$B(z)=\prod _{n}B(a_n,z),$

gdzie współczynniki

$B(a,z)=\frac{|a|}{a}\frac{a-z}{1-\bar{a}z},$

o ile $a\ne 0,$ gdzie $\bar{a}$ jest sprzężeniem zespolonym $a.$ Gdy $a=0,$ wtedy $B(0,z)=z.$

Iloczyn Blaschkego $B(z)$ definiuje funkcję analityczną na otwartym kole jednostkowym z zerami (pojedynczymi lub wielokrotnymi) $a_n.$ Również należy do przestrzeni Hardy’ego $H^{\mathrm{\infty }}$.

Ciąg $a_n$ spełniający powyższe warunki jest również zwany ciągiem Blaschkego.

Twierdzenie Szegő

Zgodnie z twierdzeniem Gábor Szegő, jeżeli $f$ należy do $H^1$ (przestrzeń Hardy’ego z całkowalną normą), oraz jeżeli $f$ jest niezerowa, wtedy zera $f$ spełniają warunki Blaschkego.

Skończony iloczyn Blaschkego

Skończony iloczyn Blaschkego może być określony (jako analityczna funkcja na kole jednostkowym) w następujący sposób: Niech $f$ będzie funkcją analityczną na otwartym kole jednostkowym taką, że $f$ może być uciąglona na otwartym na zamkniętym dysku

$\bar{\mathrm{\Delta }}=\{z\in ℂ||z|⩽1\},$

który mapuje jednostkowy okrąg w siebie samego. Wtedy $f$ jest równa skończonemu iloczynowi Blaschkego

$B(z)=\zeta \prod _{i=1}^n{\left(\frac{z-a_i}{1-\overline{a_i}z}\right)}^{m_i},$

gdzie $\zeta$ leży na jednostkowym okręgu oraz $m_i$ jest wielokrotnością zera $a_i,|a_i|<1.$ W szczególności, jeżeli $f$ spełnia powyższe warunki oraz nie posiada zer wewnątrz jednostkowego okręgu, wtedy $f$ jest stałą.

Bibliografia

• W. Blaschke, Eine Erweiterung des Satzes von Vitali über Folgen analytischer Funktionen, Berichte Math.-Phys. Kl., Sächs. Gesell. der Wiss. Leipzig, 67 (1915), s. 194–200.
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Springer

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld