Reguła sum Thomasa-Reiche’a-Kuhna

Reguła sum Thomasa-Reiche’a-Kuhna (ang. Thomas-Reiche-Kuhn sum rule) – w mechanice kwantowej związek wiążący elementy macierzowe operatora przejścia dipolowego dla elektronu w atomie z wartościami jego poziomów energetycznych i stwierdzający ze oddziaływanie atomu w stanie podstawowym z polem elektromagnetycznym w tym kwantowym nie może być w przybliżeniu dipolowym dowolnie silne. Niech stacjonarne równanie Schödingera będzie

$\hat{H}|n⟩=E_n|n⟩,$

wtedy elementy macierzowe operatora położenia $\widehat{𝒓}$ (przejścia dipolowego) np. składowej $\hat{x}$ związane są z energiami więzami

$\sum _n|⟨m|\hat{x}|n⟩{|}^2(E_n-E_m)={\hslash }^2/2m_{\mathrm{e}}$

lub

$\sum _n\sum _i|⟨m|{\widehat{𝒓}}_i|n⟩{|}^2(E_n-E_m)=3{\hslash }^2/2m_{\mathrm{e}}$

i dla $N_{\mathrm{e}}$ elektronów

$\sum _n\sum _i\sum _{j=1}^{N_{\mathrm{e}}}|⟨mj|{\widehat{𝒓}}_{ij}|nj⟩{|}^2(E_{nj}-E_{mj})=3N_{\mathrm{e}}{\hslash }^2/2m_{\mathrm{e}}.$

Jedną z konsekwencji reguły sum jest np. nieistnienie typu no-go nadpromienistej przemiany fazowej w modelu Dicke z uwzględnieniem członów kwadratowych pola elektromagnetycznego, tzn. dla realnych, a nie dowolnych parametrów fizycznych.

Wyprowadzenie

Niech

$\hat{H}=\frac{{\widehat{𝒑}}^2}{2m_{\mathrm{e}}}+V(x).$

Z jednej strony (np. dla współrzędnej $x$)

$[\hat{x},[\hat{H},\hat{x}]]=[\frac{{\widehat{𝒑}}^2}{2m_{\mathrm{e}}},[\hat{x},\hat{x}]]-[\hat{x},[\hat{x},\frac{{\widehat{𝒑}}^2}{2m_{\mathrm{e}}}]]=0+[\hat{x},\frac{1}{2m_{\mathrm{e}}}[\hat{x},{\hat{p}}_x]{\hat{p}}_x+\frac{1}{2m_{\mathrm{e}}}{\hat{p}}_x[\hat{x},{\hat{p}}_x]]=-[\hat{x},\frac{1}{2m_{\mathrm{e}}}(\mathrm{i}\hslash {\hat{p}}_x+{\hat{p}}_x\mathrm{i}\hslash )]=\frac{{\hslash }^2}{m_{\mathrm{e}}},$

czyli

$⟨m|[\hat{x},[\hat{H},\hat{x}]]|m⟩={\hslash }^2/m_{\mathrm{e}}.$

Z drugiej strony wstawiając operator jednostkowy

$\hat{I}=\sum _n|n⟩⟨n|$

do

$[\hat{x},[\hat{H},\hat{x}]]=[\hat{x},\hat{H}\hat{x}-\hat{x}\hat{H}]=\hat{x}\hat{H}\hat{I}\hat{x}-\hat{H}\hat{x}\hat{I}\hat{x}-\hat{x}\hat{I}x\hat{H}+\hat{x}\hat{H}\hat{I}\hat{x}$

i używając faktu że $|n⟩,$ to stan własny $\hat{H},$ otrzymujemy

$⟨m|[\hat{x},[\hat{H},\hat{x}]]|m⟩=2\sum _n|⟨m|\hat{x}|n⟩{|}^2(E_n-E_m).$

Przykład – oscylator harmoniczny

Ponieważ dla oscylatora harmonicznego wszystkie elementy operatora położenia pomiędzy stanem podstawowym a stanem wzbudzonym znikają z jego liniowości względem operatorów kreacji i anihilacji z wyjątkiem pierwszego otrzymujemy natychmiast

$|⟨0|\hat{x}|1⟩{|}^2=|⟨0|\hat{y}|1⟩{|}^2=|⟨0|\hat{z}|1⟩{|}^2=\hslash /2m_{\mathrm{e}}\omega .$

Dla stanów wzbudzonych analogicznie niezerowymi mogą być jedynie elementy pomiędzy dwoma najbliższymi stanami oscylatora i aby ich kwadraty modułów skracały się do reguły sum muszą być one liniowe w $n$ a więc

$|⟨n|\hat{x}|n+1⟩{|}^2=|⟨n|\hat{y}|n+1⟩{|}^2=|⟨n|\hat{z}|n+1⟩{|}^2=(n+1)\hslash /2m_{\mathrm{e}}\omega .$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę