Zbiory Marczewskiego

Zbiory Marczewskiego, znane także jako zbiory (s)-Marczewskiego lub krótko (s)-zbiory – podzbiory A prostej $ℝ$ mające tę własność, że dla dowolnego zbioru doskonałego $P\subset ℝ$ istnieje taki zbiór doskonały $Q\subset P,$ że albo $Q\subset A\cap P$ albo $Q\subset P\setminus A.$ Pojęcie pochodzi od Edward Marczewski (Szpilrajna), z jego pracy z roku 1935. Marczewski pokazał, że rodzina (s) wszystkich (s)-zbiorów jest σ-ciałem podzbiorów prostej. Motywacją do wprowadzenia tej rodziny była praca Sierpińskiego, w której rozważane były funkcje

$f:ℝ\to ℝ$

o tej własności, że dla dowolnego zbioru doskonałego $P$ istnieje taki zbiór doskonały $Q\subset P,$ że obcięcie $f{|}_Q$ jest funkcją ciągłą. Marczewski pokazał w cytowanej pracy, że takie funkcje pokrywają się z rodziną funkcji mierzalnych względem σ-ciała (s).

Ze zbiorami (s)-Marczewskiego związane są tzw. zbiory (s₀)-Marczewskiego. Rodzinę tę definiuje się jako

$(s_0)=\{A\subset ℝ:\mathrm{\forall }P\in 𝒫\mathrm{\exists }Q\in 𝒫(Q\subset P\setminus A)\},$

gdzie $𝒫$ to rodzina wszystkich zbiorów doskonałych na prostej. Rodzina (s₀) jest σ-ideał podzbiorów prostej i składa się z ze zbiorów należących do $(s)$ dziedzicznie w $(s)$ zawartych, tj.

$(s_0)=\{A\in (s):\mathrm{\forall }B\subset A(B\in (s))\}.$

Uogólnienia

Niech X będzie niepustym zbiorem i niech $ℱ\subset 𝒫(X)\setminus \{\varnothing \}.$ Definiuje się rodziny $s(ℱ)$ oraz $s_0(ℱ)$ w sposób następujący:

$s(ℱ)=\{A\subset X:\mathrm{\forall }P\in ℱ\mathrm{\exists }Q\in ℱ(Q\subset A\cap P\text{ lub }Q\subset A\setminus P)\}$

oraz

$s_0(ℱ)=\{A\subset X:\mathrm{\forall }P\in ℱ\mathrm{\exists }Q\in ℱ(Q\subset A\setminus P)\}.$

Jeśli $ℱ$ to rodzina wszystkich zbiorów doskonałych na prostej, to $s(ℱ)=(s)$ oraz $s_0(ℱ)=(s_0),$ czyli uzyskane rodziny pokrywają się z klasycznymi zbiorami Marczewskiego. Burstin w 1914 roku pokazał, że jeśli $ℱ$ to rodzina wszystkich zbiorów doskonałych o mierze dodatniej na prostej, to $s(ℱ)$ i $s_0(ℱ),$ to odpowiednio $\sigma$-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a i $\sigma$-ideał zbiorów miary zero na prostej. Jeśli $ℱ$ będzie rodziną zbiorów otwartych, to dowodzi się, że $s_0(ℱ)$ składa się ze zbiorów nigdziegęstych, natomiast $s(ℱ)$ to rodzina zbiorów o nigdziegęstym brzegu, co pokazuje, że $s(ℱ)$ i $s_0(ℱ)$ nie muszą być zawsze, odpowiednio, σ-ciałem i σ-ideałem.

Zobacz też

• Edward Marczewski
• zbiór nigdziegęsty