Obszar fundamentalny

Obszarem fundamentalnym dyskretnej grupy odwzorowań $\mathrm{\Gamma }$ przestrzeni topologicznej X nazywany jest podzbiór $D$ przestrzeni $X,$ który zawiera po jednym elementcie każdej z orbit odwzorowania z grupy $\mathrm{\Gamma }$. Jest kilka wariantów uściślenia pojęcia obszaru fundamentalnego:

1. Często zakłada się dodatkowo, że obszar fundamentalny należy do σ-algebry zbiorów borelowskich.
2. Jeśli X jest rozmaitością topologiczną, to zazwyczaj obszarem fundamentalnym nazywa się podzbiór $D\subset X,$ który jest domknięciem zbioru otwartego, takim że dla $\gamma \in \mathrm{\Gamma }$ wnętrza podzbiorów $\gamma D$ nie mają parami punktów wspólnych i

$X=\bigcup _{\gamma \in \mathrm{\Gamma }}\gamma D$.

Obszar fundamentalny nie jest na ogół wyznaczony jednoznacznie. Jeśli obszar fundamentalny jest wielościanem, to mówimy o wielościanie fundamentalnym.

Przykłady

Różne obszary fundamentalne grupy przesunięć równoległych o współrzędnych całkowitych.

Obszarem fundamentalnym w sensie definicji 2. grupy przesunięć równoległych płaszczyzny ${ℝ}^2$ o wektory o współrzędnych całkowitych jest kwadrat:

$\{(x,y)\in {ℝ}^2:0⩽x⩽1,0⩽y⩽1\}.$

Obszar fundamentalny tej grupy może przyjmować różne kształty (rysunek).

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę