Układ swobodny

Układ swobodny – układ dynamiczny swobodny to układ dynamiczny, na który nie oddziałują zewnętrzne wymuszenia.

Równanie stanu liniowego układu swobodnego (zwane też jednorodnym równaniem stanu) ma postać (w zapisie wektorowo-macierzowym):

$\dot{𝐱}(t)=𝐀𝐱(t).$

Brak w nim więc członu związanego z zewnętrznym wymuszeniem: $𝐁𝐮(t).$

Rozwiązanie tego równania przy zerowych warunkach początkowych jest trywialne: $𝐱=\mathbf{(}0).$ Natomiast przy przyjęciu warunków początkowych różnych od zera otrzymuje się tak zwane rozwiązanie swobodne (opowiadające składowej swobodnej w rozwiązaniu równań stanu dla układu poddanego wymuszeniom zewnętrznym zob. macierz przejścia).

W przypadku układu pierwszego rzędu, to znaczy przy równaniu $\dot{x}=ax;$ z warunkiem początkowym $x(0)=x^0$ rozwiązanie swobodne ma postać $x(t)=e^{at}{x}^0,$ co wynika z metody ogólnej rozwiązywania równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach.

W przypadku układu rzędu $n$ rozwiązanie równania $\dot{𝐱}=𝐀𝐱;$ z warunkiem początkowym $𝐱(0)={𝐱}^0$ można zapisać analogicznie w postaci $𝐱(t)=e^{𝐀t}{𝐱}^0.$

Zobacz też

• macierz przejścia