Przekształcenie Abela

Przekształcenie Abela (tożsamość Abela) – tożsamość algebraiczna zachodząca dla skończonych ciągów liczbowych (bądź ogólniej, elementów pierścienia przemiennego).

Niech $(a_{j})_{j = 1}^{n},$ $(b_{j})_{j = 1}^{n}$ będą ciągami liczbowymi.

Oznaczmy

A_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} .

Wówczas zachodzi wzór:

\sum_{j = m + 1}^{m + k} a_{j} b_{j} = \sum_{l = m + 1}^{m + k} A_{l} (b_{l} - b_{l + 1}) - A_{m} b_{m + 1} + A_{m + k} b_{m + k + 1} .

W szczególności, gdy $m = 0,$ $b_{k + 1} = 0 :$

\sum_{j = 1}^{k} a_{j} b_{j} = \sum_{l = 1}^{k - 1} A_{l} (b_{l} - b_{l + 1}) + A_{k} b_{k} .

Dowód

Dla każdego $l ⩽ n$ mamy

a_{l} b_{l} = (A_{l} - A_{l - 1}) b_{l} = A_{l} (b_{l} - b_{l + 1}) + A_{l} b_{l + 1} - A_{l - 1} b_{l} .

Po zsumowaniu i zredukowaniu wyrazów występujących w kolejnych wyrażeniach z przeciwnymi znakami otrzymujemy tezę.

Jeśli $b_{n}$ jest ciągiem nierosnącym nieujemnym, to spełniona jest nierówność:

| \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i} | ⩽ A b_{1}

gdzie:

A = \max (| a_{1} |, | a_{1} + a_{2} |, \dots, | \sum_{i = 1}^{n} a_{i} |) .

Szablon:MathWorld [dostęp 2024-02-02].
Szablon:Otwarty dostęp Abel transformation Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].