Twierdzenie Stewarta

Rysunek poglądowy dla twierdzenia Stewarta

Twierdzenie Stewarta – twierdzenie planimetrii wykorzystywane do obliczania długości czewian. Zostało udowodnione i opublikowane przez szkockiego matematyka Matthew Stewarta w 1746 roku.

Twierdzenie

Niech $a,$ $b,$ i $c$ będą długościami boków trójkąta. Niech $d$ będzie długością odcinka łączącego pewien punkt leżący na boku długości $a$ z wierzchołkiem naprzeciw tego boku (odcinek taki nazywamy czewianą). Jeżeli poprowadzony odcinek dzieli bok długości $a$ na odcinki o długościach $m$ i $n$ sąsiadujące odpowiednio z bokami $c$ i $b$, to:

$b^{2}m+c^{2}n=a(d^2+mn).$

Dowód

Niech $\theta$ będzie kątem między $m$ i $d,$ zaś ${\theta }^{\prime }$ kątem między $n$ i $d.$ Stosując twierdzenie cosinusów dla kątów $\theta$ oraz ${\theta }^{\prime }$, otrzymujemy równości Szablon:Wzór Szablon:Wzór

Ponieważ kąty $\theta$ i ${\theta }^{\prime }$są przyległe, zachodzi równość $\cos {\theta }^{\prime }=-\cos \theta ,$ czyli Szablon:Wzór

Mnożąc równanie Szablon:LinkWzór przez $n,$ a równanie Szablon:LinkWzór przez $m$ i dodając je stronami, otrzymujemy

$\begin{array}{cc}{b}^{2}m+c^{2}n& =n{m}^2+n^{2}m+(m+n)d^2\\ & =(m+n)(mn+d^2)\\ & =a(mn+d^2).\end{array}$