Gauson

Gauson (ang. Gausson) – soliton będący rozwiązaniem równania Schrödingera z nieliniowością logarytmiczną opisującego cząstkę kwantową w możliwej nieliniowej mechanice kwantowej.

Niech nieliniowe równanie Schrödingera w jednym wymiarze będzie dane przez $(\hslash =1):$

$\mathrm{i}\frac{\partial \psi }{\partial t}=-\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}-a\ln |\psi {|}^2\psi .$

Zakłada się tzw. niezmienniczość Galileusza, tzn.

$\psi (x,t)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}Et}\psi (x-kt).$

Podstawiając

$y=x-kt,$

pierwsze równanie można zapisać jako:

$-\frac{1}{2}{\left(\frac{\partial \psi }{\partial y}+\mathrm{i}k\right)}^2-a\ln |\psi {|}^2\psi =(E+\frac{k^2}{2})\psi .$

Ponadto podstawiając

$\mathrm{\Psi }(y)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}ky}\psi (y)$

i zakładając

$\mathrm{\Psi }(y)=N{\mathrm{e}}^{-\omega y^2/2},$

otrzymuje się zwykłe równanie Schrödingera dla oscylatora harmonicznego:

$-\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial y^2}+a\omega y^2\mathrm{\Psi }=(E+\frac{k^2}{2}+N^{2}a)\mathrm{\Psi }.$

Rozwiązaniem jest więc stan podstawowy oscylatora harmonicznego, jeśli tylko $(a>0):$

$a\omega ={\omega }^2/2$

lub

$\omega =2a.$

Pełne rozwiązanie solitonowe jest więc dane przez:

$\psi (x,t)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}Et}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k(x-kt)}{\mathrm{e}}^{-a(x-kt{)}^2},$

gdzie:

$E=a(1-N^2)-k^2/2.$

Rozwiązanie to opisuje soliton poruszający się ze stałą prędkością $k$ i niezmieniający kształtu funkcji Gaussa.