Parametr spowolnienia

Szablon:Dopracować Parametr spowolnienia – bezwymiarowa wielkość przyspieszenia Wszechświata występująca w teorii Wielkiego Wybuchu. Zdefiniowany jest on następująco:

$q=-\frac{a\ddot{a}}{{\dot{a}}^2},$

gdzie $a$ jest funkcją czasu nazywaną czynnikiem skali. Kropki nad $a$ oznaczają odpowiednio pierwszą i drugą pochodną tej funkcji po czasie.

Parametr spowolnienia związany jest też z gęstością masy we Wszechświecie. Związek ten można przedstawić w poniższy sposób:

$\rho =\frac{3}{4\pi }q{\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2.$

Natomiast gęstość krytyczna Wszechświata jest definiowana jako:

${\rho }_c=\frac{3}{8\pi }{\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2.$

W ten sposób można znaleźć związek pomiędzy obiema gęstościami a parametrem spowolnienia. Jeżeli przez $\mathrm{\Omega }$ oznaczymy stosunek prawdziwej gęstości Wszechświata do gęstości krytycznej, to otrzymamy:

$\mathrm{\Omega }=\frac{\rho }{{\rho }_c}=2q.$

Zatem mierząc parametr spowolnienia $q,$ możemy obliczyć gęstość $\rho .$ Znając te wielkości, można z kolei wydedukować wielkoskalową strukturę Wszechświata:

• gdy $\mathrm{\Omega }<1$ – Wszechświat otwarty,
• gdy $\mathrm{\Omega }>1$ – Wszechświat zamknięty,
• jeśli natomiast $\mathrm{\Omega }\approx 1$ w taki sposób, że w jednych miejscach wartość $\mathrm{\Omega }$ jest lekko powyżej 1, w innych zaś lekko poniżej 1, to nie obowiązuje model Wszechświata Friedmana.

Oznaczmy teraz:

$\frac{\dot{a}}{a}=H(t)$

jako stałą Hubble’a.

Możemy znaleźć związek pomiędzy czynnikiem skali $a$ w chwili $t_0$ a parametrem spowolnienia w tej samej chwili $t_0,$ rozwijając $a(t)$ wokół $t_0$ w szereg Taylora:

$a(t)=a(t_0)[1+H(t_0)(t-t_0)-\frac{1}{2}q(t_0)H^2(t_0){(t-t_0)}^2+\dots ].$

Powyższy wzór przybiera bardziej dogodną postać gdy skorzysta się z pojęcia przesunięcia ku czerwieni:

$1+z=\frac{a(t_0)}{a(t)}.$

Otrzymamy wtedy:

$z(t)=H(t_0)(t_0-t)+(1+\frac{1}{2}q(t_0))H^2(t_0)(t_0-t{)}^2+\dots$

Bywa, że interesuje nas informacja o czasie $t,$ w którym galaktyki wysłały swoje światło, wtedy powyższą formułę przedstawiamy jako:

$t_0-t=\frac{z(t)}{H(t_0)}-(1+\frac{1}{2}q(t_0))\frac{z^2(t)}{H(t_0)}+\dots$