Metoda złotego podziału

Metoda złotego podziału – numeryczna metoda optymalizacji jednowymiarowej funkcji celu.

Algorytm ten może być używany przy minimalizacji kierunkowej razem z innymi metodami optymalizacji funkcji wielowymiarowych, takich jak metody gradientowe (np. metoda gradientu prostego, metoda Newtona) lub bezgradientowe (np. metoda Gaussa-Seidela, metoda Powella).

Innymi metodami optymalizacji jednowymiarowej są metoda dychotomii, metoda punktu środkowego, metoda Newtona.

Zadanie optymalizacji jednowymiarowej

Niech dana będzie funkcja celu $f:$

$ℝ\supset D\ni x\mapsto f(x)\in ℝ$

oraz przedział $[a,b]\subset D$ w którym $f$ jest unimodalna (jest ciągła i posiada co najwyżej jedno ekstremum lokalne). Zadaniem optymalizacji jednowymiarowej funkcji $f$ jest znalezienie jej minimum w przedziale $[a,b].$

Warto podkreślić fakt, iż algorytmy minimalizacji jednowymiarowej działają poprawnie jedynie dla przedziałów w których funkcja jest unimodalna. Jeżeli zadana funkcja nie posiada tej własności, należy znaleźć jej przedziały unimodalności i zastosować opisywaną metodę do każdego z nich.

Algorytm

Idea algorytmu

Metoda złotego podziału. Badane są wartości funkcji w punktach $x_L$ i $x_R.$ Zgodnie z rysunkiem $f(x_L)>f(x_R)$ z czego wynika, iż minimum musi znajdować się w przedziale $[x_L,b]$

Funkcja ciągła $f$ w przedziale $[a,b]$ posiada dokładnie jedno minimum x*. Minimum to można znaleźć poprzez kolejne podziały zadanego przedziału. W tym celu należy obliczyć wartości funkcji w dwóch punktach $x_L$ i $x_R$ takich, że $a<x_L<x_R<b,$ a następnie zbadać ich wielkości:

• Jeżeli $f(x_L)>f(x_R),$ to szukane minimum znajduje się w przedziale $[x_L,b].$
• Jeżeli $f(x_L)<f(x_R),$ to szukane minimum znajduje się w przedziale $[a,x_R].$

W ten sposób można dowolnie zawężać przedział w którym znajduje się minimum, aż do momentu gdy spełniony zostanie warunek:

$(b-a)⩽ϵ$

dla ustalonej dokładności obliczeń $ϵ.$

Wielkość otrzymanego w wyniku powyższego postępowania przedziału po $n$ krokach wynosi: $(b^{(n)}-a^{(n)})k^n$ gdzie $k$ jest stałym współczynnikiem o który zmniejszana jest wielkość przedziałów w kolejnych krokach algorytmu.

Złoty podział

W metodzie złotego podziału wartość współczynnika $k$ jest dobrana w taki sposób, aby przy kolejnych iteracjach wykorzystywać obliczoną w poprzednim kroku wartość funkcji jednej z dwóch próbek ($f(x_L)$ lub $f(x_R)$). Aby osiągnąć powyższą własność, wartość współczynnika $k$ musi być równa wartości złotego podziału:

$k=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0,61803398$

skąd wzięła się nazwa metody.

Strategię obliczania minimum funkcji można zapisać:

1. $\{\begin{array}{c}{x}_L^{(0)}:=b^{(0)}-(b^{(0)}-a^{(0)})k\\ x_R^{(0)}:=a^{(0)}+(b^{(0)}-a^{(0)})k\end{array}$
2. Jeśli:
   • $f(x_L^{(i)})>f(x_R^{(i)})\Rightarrow \{\begin{array}{c}{a}^{(i+1)}:=x_L^{(i)}\\ b^{(i+1)}:=b^{(i)}\\ x_L^{(i+1)}:=x_R^{(i)}\\ x_R^{(i+1)}:=a^{(i+1)}+(b^{(i+1)}-a^{(i+1)})k\end{array}$
   • $f(x_L^{(i)})<f(x_R^{(i)})\Rightarrow \{\begin{array}{c}{a}^{(i+1)}:=a^{(i)}\\ b^{(i+1)}:=x_R^{(i)}\\ x_L^{(i+1)}:=b^{(i+1)}-(b^{(i+1)}-a^{(i+1)})k\\ x_R^{(i+1)}:=x_L^{(i)}\end{array}$
3. Jeśli $(b^{(i+1)}-a^{(i+1)})⩽ϵ$ to STOP, w przeciwnym wypadku powtórz punkt 2.

Pseudokod

Algorytm można również zapisać przy pomocy poniższego kodu w języku C:

float GoldenRatioMethod( float a, float b )
{
        // współczynnik złotego podziału
        float k = ( sqrt( 5 ) - 1 ) / 2;

        // lewa i prawa próbka
        float xL = b - k * ( b - a );
        float xR = a + k * ( b - a );

        // pętla póki nie zostanie spełniony warunek stopu
        while ( ( b - a ) > EPSILON )
        {
                // porównaj wartości funkcji celu lewej i prawej próbki
                if ( f( xL ) < f( xR ) )
                {
                        // wybierz przedział [a, xR]
                        b = xR;
                        xR = xL;
                        xL = b - k * ( b - a );
                }
                else
                {
                        // wybierz przedział [xL, b]
                        a = xL;
                        xL = xR;
                        xR = a + k * ( b - a );
                }
        }

        // zwróć wartość środkową przedziału
        return ( a + b ) / 2;
}

Zbieżność metody

Kolejne obliczane przedziały w metodzie złotego podziału są wielkości:

$(b^{(i+1)}-a^{(i+1)})=k(b^{(i)}-a^{(i)})$

z czego wynika iż zbieżność metody jest liniowa (rząd zbieżności wynosi $1,$ zaś współczynnik zbieżności $k\approx 0,61803398<1$). Ilość iteracji $N$ potrzebna do zawężenia przedziału początkowego $[a,b]$ do zadanej dokładności $ϵ$ wynosi:

$N=\lceil {\log }_k\frac{ϵ}{b-a}\rceil$

Zobacz też

• programowanie matematyczne
• funkcja unimodalna
• metoda Newtona (optymalizacja)
• metoda Brenta (optymalizacja)

Bibliografia

• Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J.: Metody Numeryczne, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2006.
• Stachurski A., Wierzbicki A.: Podstawy optymalizacji, Oficyna Wydawnicza PW, 1999.

Linki zewnętrzne

• https://web.archive.org/web/20080530094827/http://www.kmg.ps.pl/opt/wyklad/bezgrad/podzial.html
• http://optymalizacja.w8.pl/Jednowymiarowa.html