Algorytm Hirvonena

Współrzędne geodezyjne i kartezjańskie

Algorytm Hirvonena – algorytm służący do transformacji współrzędnych ortokartezjańskich (prostokątnych) x, y, z na współrzędne geodezyjne B, L, h. Jest to proces iteracyjny. W wyniku 3-4-krotnego powtarzania procedury można przeliczyć współrzędne na poziomie dokładności 1 cm.

Obliczenia

wychodzimy ze wzorów na x,y,z:

$X=(N+h)\cos B\cos L,$

$Y=(N+h)\cos B\sin L,$

$Z=[N(1-e^2)+h]\sin B.$

Długość geodezyjna L

$\frac{Y}{X}=\frac{(N+h)\cos B\sin L}{(N+h)\cos B\cos L}=\text{tg }L,$

$L=\text{arctg }\frac{Y}{X}.$

Szerokość geodezyjna B

$\frac{Z}{\sqrt{X^2+Y^2}}=\frac{[N(1-e^2)+h]\sin B}{(N+H)\cos B}=\frac{N+N{e}^2+h}{N+h}\text{tg }B=(\frac{N+h}{N+h}-\frac{N{e}^2}{N+h})\text{tg }B,$

$\frac{Z}{\sqrt{X^2+Y^2}}=(1-e^2\frac{N}{N+h})\text{tg }B,$

$\text{tg }B=\frac{Z}{\sqrt{X^2+Y^2}}{(1-e^2\frac{N}{N+h})}^{-1}.$

Ostatecznie:

$\text{tg }{B}_{(k+1)}=\frac{Z}{\sqrt{X^2+Y^2}}{(1-e^2\frac{N_k}{N_k+h_k})}^{-1}$

przy czym:

$\text{tg }{B}^{(k=0)}=\frac{Z}{\sqrt{X^2+Y^2}}(1-e^2{)}^{-1}.$

Wysokość elipsoidalna (h)

$\sqrt{X^2+Y^2}=(N+h)\cos B,$

$\sqrt{X^2+Y^2}\cos B=N+h,$

$h=\frac{\sqrt{X^2+Y^2}}{\cos B}-N.$

Algorytm

• obliczenie długości geodezyjnej L,
• obliczenie szerokości geodezyjnej, B dla k = 0,
• Na podstawie tego B₀ liczymy N₀ i h₀. Następnie mając dane N₀ i h₀ liczymy na ich podstawie B₁. Na podstawie B₁ liczymy N₁ i h₁ itd. Zazwyczaj wystarczają 3 iteracje. Proces jest powtarzany do uzyskania zadowalającej dokładności.