Punkty Brocarda

Punkt Brocarda trójkąta skonstruowany w punkcie przecięcia trzech okręgów

Punkty Brocarda – szczególne punkty w trójkącie.

Francuski matematyk Henri Brocard (1845–1922), sformułował następujące zdanie:

W trójkącie $ABC$ o bokach $a,b,c$ znajduje się dokładnie jeden taki punkt $P,$ że proste $AP,BP,CP$ z bokami odpowiednio $c,a,b$ tworzą równe kąty $\omega ,$ tzn. prawdziwy jest następujący ciąg równości:

$\mathrm{\angle }PBC=\mathrm{\angle }PCA=\mathrm{\angle }PAB.$

Punkt $P$ nazywa się pierwszym punktem Brocarda trójkąta $ABC.$ Kąt $\omega$ jest kątem Brocarda trójkąta $ABC.$

Istnieje także drugi punkt Brocarda trójkąta $ABC:$ punkt $Q,$ dla którego odcinki $AQ,BQ,CQ,$ według tej kolejności, z bokami $b,c,a$ tworzą równe kąty, tzn. prawdziwy jest następujący ciąg równości:

$\mathrm{\angle }QCB=\mathrm{\angle }QBA=\mathrm{\angle }QAC.$

Temu drugiemu punktowi Brocarda odpowiada ten sam kąt Brocarda, co pierwszemu punktowi Brocarda, tzn. kąt $\mathrm{\angle }PBC=\mathrm{\angle }PCA=\mathrm{\angle }PAB$ jest równy kątowi $\mathrm{\angle }QCB=\mathrm{\angle }QBA=\mathrm{\angle }QAC.$

Te dwa punkty Brocarda są ze sobą ściśle związane; w gruncie rzeczy odróżnienie pierwszego kąta od drugiego zależy od tego, w jakiej kolejności weźmiemy kąty trójkąta $ABC$! W ten sposób dla przykładu: pierwszy punkt Brocarda trójkąta $ABC$ jest równocześnie drugim punktem Brocarda w trójkącie $ACB.$

Konstrukcja

Przykład:

1. Obieramy trzy niewspółliniowe punkty $A,B,C.$
2. Kreślimy prostą $c$ przez punkty $A$ i $B,$ prostą, a przez punkty $B$ i $C$ oraz prostą $b$ przez punkty $C$ i $A.$
3. Kreślimy symetralną boku $AB$ i oznaczamy ją przez $c^{\prime }.$
4. Kreślimy prostą $c^{″}$ prostopadłą do prostej, a przez punkt $B.$
5. Punkt przecięcia się symetralnej $c^{\prime }$ i prostej $c^{″}$ oznaczamy $O_1.$
6. Z punktu $O^1$ kreślimy okrąg o promieniu $|O1B|.$ Wówczas okrąg ten przechodzi także przez punkt $A$ i jest styczny do prostej $a.$
7. Analogicznie konstruujemy okrąg przez punkty $C$ i $B,$ styczny do prostej $b;$

a następnie okrąg przez punkty $A$ i $C,$ styczny do prostej $c.$

Te trzy okręgi posiadają wspólny punkt – pierwszy punkt Brocarda trójkąta $ABC.$

Analogicznie konstruuje się drugi punkt Brocarda.

Równania kąta Brocarda

Oznaczmy przez $A_{\mathrm{\Delta }}$ pole powierzchni trójkąta $ABC.$ Wówczas kąt Brocarda można obliczyć następującymi równaniami:

• $\mathrm{tg}\omega =\frac{4A_{\mathrm{\Delta }}}{a^2+b^2+c^2}.$
• $\mathrm{ctg}\omega =\mathrm{ctg}\alpha +\mathrm{ctg}\beta +\mathrm{ctg}\gamma .$
• $\sin \omega =\frac{2A_{\mathrm{\Delta }}}{\sqrt{b^2{c}^2+a^2{c}^2+a^2{b}^2}}$

Dla każdego trójkąta: $\omega ⩽30^{\circ }.$

Właściwości

• Oba punkty Brocarda trójkąta $ABC$ są ze sobą sprzężone izogonalnie.
• Punkt środkowy dwóch punktów Brocarda znajduje się na tzw. osi Brocarda, która łączy punkt środkowy koła opisanego i punkt Lemoine.

Prosta łącząca punkty Brocarda jest prostopadła do osi Brocarda.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-10-30].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-10-30].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-10-30].
• Szablon:Otwarty dostęp Brocard point Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-30].