Ciąg Fareya

Ciąg ułamków Fareya rzędu $n$ – rosnący ciąg ${ℱ}_n$ wszystkich nieskracalnych ułamków $\frac{h}{k}$ takich, że $1⩽k⩽n\wedge 0⩽h⩽k$.

Przykład

${ℱ}_5=(\frac{0}{1},\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{2}{5},\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{1}{1})$.

Własności

• Twierdzenie Cauchy’ego-Fareya.
• Dla $N⩾1$ nie ma dwóch kolejnych ułamków o tym samym mianowniku.
• Jeśli $\frac{h_1}{k_1},\frac{h_2}{k_2},\frac{h_3}{k_3}$ są kolejnymi ułamkami ciągu ułamków Fareya ${ℱ}_n,$ to $\frac{h_2}{k_2}=\frac{h_1+h_3}{k_1+k_3}$.
• Jeśli $\frac{h_1}{k_1},\frac{h_2}{k_2}$ są kolejnymi ułamkami ciągu ułamków Fareya ${ℱ}_n,$ to $k_1+k_2⩾n+1$.

Przykład zastosowania

Szablon:Dopracować Znaleźć liczby $m<\sqrt{\frac{1}{2}}<d$ najbliższe $\sqrt{\frac{1}{2}},$ których mianowniki są mniejsze od 50.

Mamy:

$\frac{0}{1}<\sqrt{\frac{1}{2}}<\frac{1}{1},$

czyli

$\frac{0}{1}⩽m<\sqrt{\frac{1}{2}}<d⩽\frac{1}{1},$

zachodzi nierówność:

$\frac{0+1}{1+1}⩽m<\sqrt{\frac{1}{2}},$

więc:

$\frac{1}{2}⩽m<\sqrt{\frac{1}{2}}<d⩽\frac{1}{1}.$

Zauważamy, że skrajne wartości są najlepszymi oszacowaniami spośród liczb o mianowniku nie większym niż 2.

Stwierdzamy, że $\frac{1+1}{2+1}=\frac{2}{3}<\sqrt{\frac{1}{2}},$

czyli:

$\frac{1}{2}<\frac{2}{3}⩽m<\sqrt{\frac{1}{2}}<d⩽\frac{1}{1},$

a zatem:

$\frac{2}{3}⩽m<\sqrt{\frac{1}{2}}<d⩽\frac{1}{1}.$

W kolejnych krokach dostajemy:

$\frac{2}{3}⩽m<\sqrt{\frac{1}{2}}<d⩽\frac{3}{4}$

$\frac{2}{3}⩽m<\sqrt{\frac{1}{2}}<d⩽\frac{5}{7}$

$\frac{7}{10}⩽m<\sqrt{\frac{1}{2}}<d⩽\frac{5}{7}$

$\frac{12}{17}⩽m<\sqrt{\frac{1}{2}}<d⩽\frac{5}{7}$

$\frac{12}{17}⩽m<\sqrt{\frac{1}{2}}<d⩽\frac{17}{24}$

$\frac{12}{17}⩽m<\sqrt{\frac{1}{2}}<d⩽\frac{29}{41}$

Liczby $\frac{12}{17}$ oraz $\frac{29}{41}$ są kolejnymi liczbami w pięćdziesiątym ciągu Fareya, więc nie ma pomiędzy nimi liczby o mianowniku mniejszym niż 58, czyli są to poszukiwane liczby.

Zobacz też

• drzewo Sterna-Brocota

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Ułamki Fareya, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 27 lipca 2017 [dostęp 2024-09-04].
• Szablon:MathWorld