Formuła trójczłonowa

Formuła (reguła) trójczłonowa – własność rodzin wielomianów ortogonalnych.

Twierdzenie

Niech $P_n(x),$ gdzie $n\in \mathbb{N}$ będzie rodziną rzeczywistych wielomianów ortogonalnych. Spełniona jest wówczas zależność:

$x{P}_n(x)=a_{n,n}{P}_n(x)+a_{n-1,n}{P}_{n-1}(x)+a_{n+1,n}{P}_{n+1}(x),$

gdzie $a_{n,m}=\frac{⟨x{P}_m,P_n⟩}{\Vert P_n{\Vert }^2}$ oraz $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ jest iloczynem skalarnym. Własność tę nazywamy formułą trójczłonową.

Przykład

Formuła trójczłonowa dla wielomianów Czebyszewa pierwszego rodzaju:

$x{T}_k(x)=\frac{1}{2}{T}_{k-1}(x)+\frac{1}{2}{T}_{k+1}(x).$