Równanie Kortewega-de Vries

Szablon:Dopracować Równanie Kortewega-de Vries – nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe opisujące ruch fali w płytkiej wodzie w długim kanale, jak następuje:

$u_t+6u{u}_x+u_{xxx}=0.$

Rozwiązanie solitonowe

Załóżmy tzw. niezmienniczość Galileusza rozwiązania $u$ tzn.

$u(x,t)=u(x-vt).$

Podstawiając

$y=x-vt,$

redukujemy równanie cząstkowe do równania różniczkowego zwyczajnego

$-v{u}_y+6u{u}_y+u_{yyy}=0.$

Całkując raz, otrzymujemy

$-vu+3u^2+u_{yy}=C.$

Równanie to ma rozwiązanie ($C=0$)

$u(y)=\frac{1}{2}v{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}}^2\left[\frac{\sqrt{v}}{2}y\right].$

Powracając do oryginalnych współrzędnych otrzymujemy rozwiązanie

$u(x,t)=\frac{1}{2}v{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}}^2[\frac{\sqrt{v}}{2}(x-vt)].$

Rozwiązanie to opisuje soliton o niezmiennym kształcie kwadratu funkcji $sech$ podobnym do funkcji Gaussa i poruszający się ze stałą prędkością $v.$