Metoda Eulera

Krzywe całkowe wyznaczonych przy pomocy metody Eulera, spełniające równanie różniczkowe$f^{\prime }(x,y)=\frac{x(y+1)}{x^2+2}$ dla różnych warunków początkowych.

Metoda Eulera – sposób rozwiązywania równań różniczkowych, opierający się na interpretacji geometrycznej równania różniczkowego. Po raz pierwszy została ona przedstawiona w 1768 roku w podręczniku Leonharda Eulera pt. Institutiones calculi differentialis („Kształcenie w rachunku różniczkowym”).

Metoda podstawowa

Równanie postaci $y^{\prime }=f(x,y)$ o warunkach początkowych $(x_0,y_0):y_0=y(x_0),$ z kolejnymi punktami $x_i$ na osi x:

$x_{n+1}=x_n+h,n=0,1,2,3,...$

Ponieważ – z definicji pochodnej

$y^{\prime }=\frac{\mathrm{\Delta }y}{h},$

czyli zarazem

$f(x_n,y_n)=y^{\prime }=\frac{\mathrm{\Delta }y}{h}.$

Po przekształceniu:

$\mathrm{\Delta }y=hf(x_n,y_n).$

Ponieważ szukamy wzoru na $y_{n+1},$ zatem do wzoru $y_{n+1}=y_n+\mathrm{\Delta }y$ podstawiamy wyżej wyliczone $\mathrm{\Delta }y$ i otrzymujemy ostatecznie równanie:

$y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n).$

Porównując otrzymany wynik z rozwinięciem Taylora otrzymujemy:

$y_{n+1}=y(x_{n+1})=y(x_n+h)=y_n+hf(x_n,y_n)+\frac{f^{(2)}(\xi )}{2}{h}^2,$

gdzie $x_n<\xi <x_{n+1}$

co oznacza, że przybliżenie wartości $y(x_{n+1})$ ma błąd rzędu $h^2.$ Świadczy to o tym, że obranie mniejszego przedział kroku da w rezultacie dokładniejszy wynik.

Zbieżność

Zależność dokładności rozwiązania od wielkości kroku najlepiej sprawdzić na przykładzie równania różniczkowego, którego rozwiązanie łatwo jest znaleźć za pomocą wzoru. Przykładem może być równanie $y^{\prime }=y$ dla warunków początkowych $x_0=0,y_0=1,$ którego rozwiązaniem jest funkcja $y=\exp (x).$ Zastosowanie metody Eulera dla takiego równania bardzo wyraźnie zależy od kroku h.

h=1:	$x_{n+1}=x_n+1,$	$y_{n+1}=y_n+1\cdot y_n=2y_n$	dla $x_n=4$ mamy $y_n=16$
h=0.5:	$x_{n+1}=x_n+0,5,$	$y_{n+1}=y_n+0,5\cdot y_n=1,5y_n,$	dla $x_n=4$ mamy $y_n=25,6289$
h=0.1:	$x_{n+1}=x_n+0,1,$	$y_{n+1}=y_n+0,1\cdot y_n=1,1y_n,$	dla $x_n=4$ mamy $y_n=45,2593$
h=0.01:	$x_{n+1}=x_n+0,01,$	$y_{n+1}=y_n+0,01\cdot y_n=1,01y_n,$	dla $x_n=4$ mamy $y_n=53,5241$
h=0.001:	$x_{n+1}=x_n+0,001,$	$y_{n+1}=y_n+0,001\cdot y_n=1,001y_n,$	dla $x_n=4$ mamy $y_n=54,5891$

W rzeczywistości $\exp (4)\approx 54,5982.$

Błąd obliczeń rozwiązania równania różniczkowego metoda Eulera maleje wraz ze zmniejszaniem kroku h, ale rośnie wraz ze wzrostem $x-x_0$ dla każdej wartości h. Generalnie metoda Eulera nie jest efektywna. Błąd jej stosowania jest na ogół duży.

Metoda zmodyfikowana

Zgodnie z tą metodą, $\mathrm{\Delta }y$ obliczamy jako:

$\mathrm{\Delta }y=f(x_n+\frac{h}{2},y_n+f(x_n,y_n)\frac{h}{2})h.$

Metoda ta jest szczególnym przypadkiem metody Rungego-Kutty, znana popularnie jako metoda punktu środkowego (ang. midpoint).

Metoda udoskonalona

Modyfikacja polega na obliczaniu współczynnika nachylenia stycznej $\mathrm{\Delta }y$ za pomocą średniej arytmetycznej:

$\mathrm{\Delta }y=h\frac{f(x_n,y_n)+f(x_n+h,y_n+f(x_n,y_n)h)}{2}.$

Podobnie jak poprzednio, jest to szczególny przypadek metody Rungego-Kutty, znany powszechnie jako Metoda Heuna.

Zobacz też

• metoda Eulera-Maruyamy
• metoda Rungego-Kutty
• metody numeryczne

Bibliografia

• Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski, Metody numeryczne Podręczniki akademickie Elektronika, informatyka, telekomunikacja, Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1982, s. 285–312.
• D. Potter, Metody obliczeniowe fizyki, fizyka komputerowa, Warszawa: PWN, 1982, s. 19–43.
• J. Szmelter, Metody komputerowe w mechanice, Warszawa: PWN, 1980, s. 150–157.