Macierz Hilberta

Macierz Hilberta – macierz kwadratowa z elementami danymi wzorem:

$h_{ij}=\frac{1}{i+j-1}.$

Na przykład macierz Hilberta 5 × 5 wygląda następująco:

$H=\left[\begin{array}{ccccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{4}& \frac{1}{5}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{4}& \frac{1}{5}& \frac{1}{6}\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{4}& \frac{1}{5}& \frac{1}{6}& \frac{1}{7}\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{5}& \frac{1}{6}& \frac{1}{7}& \frac{1}{8}\\ \frac{1}{5}& \frac{1}{6}& \frac{1}{7}& \frac{1}{8}& \frac{1}{9}\end{array}\right]$

Macierz Hilberta jest podręcznikowym przykładem macierzy źle uwarunkowanej. Wskaźnik uwarunkowania macierzy Hilberta stopnia N wynosi:

$\mathrm{cond}(H_N)=O\left(\frac{e^{3,5255N}}{\sqrt{N}}\right).$

Numerycznie rozwiązywanie nawet niewielkich układów równań z tą macierzą jest zatem praktycznie niemożliwe.

Zobacz też

• David Hilbert