Twierdzenie Buckinghama

Twierdzenie Buckinghama znane też jako twierdzenie pi (twierdzenie Π) jest kluczowym prawem stosowanym w analizie wymiarowej. Twierdzenie wprowadził E. Buckingham w 1914 roku.

Stwierdza ono, że:

jeżeli mamy jakieś równanie opisane przez pewną liczbę niezależnych parametrów fizycznych (n) to równanie to możemy wyrazić przy pomocy modułów bezwymiarowych, których liczba równa jest liczbie tych parametrów fizycznych pomniejszonych o wymiary podstawowe.

Jeżeli mamy równanie będące funkcją n parametrów niezależnych to możemy je zapisać w postaci:

$f(Q_1,Q_2,Q_3,\dots ,Q_n)=0,$

gdzie $Q_1\dots Q_n$ są zmiennymi niezależnymi.

Możemy je zapisać w postaci funkcji modułów bezwymiarowych:

$f({\pi }_1,{\pi }_2,\dots ,{\pi }_m)=0,$

gdzie ${\pi }_1\dots {\pi }_{n-r}$ są modułami bezwymiarowymi.

Jeżeli liczbę modułów bezwymiarowych oznaczymy m, a liczbę wymiarów podstawowych r to liczba modułów bezwymiarowych równa się m = n – r.

Każdy taki moduł może być przedstawiony w postaci:

$\pi =Q_1^{a_1}{Q}_2^{a_2}\dots Q_n^{a_n},$

gdzie $a_1\dots a_i$ – stałe.

Interpretacja

Interpretacja twierdzenia pi opiera się na pojęciach przestrzeni metrycznej i przestrzeni wektorowej.

Twierdzenie to traktuje jednostki fizyczne (podstawowe i ich pochodne) jako wektory w przestrzeni wektorowej, a jednostki podstawowe jako wektory bazowe.

Jeżeli mamy układ złożony z n jednostek fizycznych, w tym m jednostek podstawowych, to otrzymamy macierz wymiarową złożoną z m wierszy i n kolumn, którą możemy zapisać jako układ:

$f(Q_1,Q_2,Q_3,\dots ,Q_n)=0.$

Rząd tej macierzy (A) jest równy lub mniejszy niż m (rząd oznaczmy przez r):

$R(A)=r⩽m.$

Jeżeli r<n oznacza to, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-r parametrów. Układ taki można zapisać:

$f(Q_1,Q_2,Q_3,\dots ,Q_r,Q_{k_1},\dots ,Q_{k_{n-r}})=0.$

Zmienne $Q_1\dots Q_r$ są niezależne (to znaczy, że żadnej z nich nie da się wyrazić jako kombinacji liniowej innej), a $Q_{k_1}\dots Q_{k_{n-r}}$ to parametry.

Z algebry liniowej wiadomo, że dowolną kolumnę $Q_k,$ gdzie r<k<n, można przedstawić jako kombinację liniową pierwszych r kolumn:

$Q_k=Q_1^{b_1}\cdot Q_2^{b_2}\dots Q_r^{b_r},$

gdzie $b_1\dots b_r$ to stałe będące liczbami rzeczywistymi.

Z układu r równań można obliczyć r niewiadomych.

Pozostałe zmienne ($Q_k,$ gdzie r<k<n) można przedstawić w postaci bezwymiarowej dzieląc każdą z nich przez kombinację r pierwszych zmiennych:

${\pi }_i=\frac{Q_{k_i}}{Q_1^{b_1}\cdot Q_2^{b_2}\dots Q_r^{b_r}}.$

Wtedy układ równań przyjmuje postać:

$f(Q_1,Q_2,Q_3,\dots ,Q_r,{\pi }_1,\dots ,{\pi }_{n-r})=0.$

W układzie tym jedynie zmienne $Q_1\dots Q_r$ posiadają wymiar. Nie da się ich przedstawić w postaci bezwymiarowej ponieważ z założenia są niezależne wymiarowo. Ponieważ każde równanie fizyczne musi być jednorodne wymiarowo zmienne te muszą zostać usunięte z równania.

Układ równań przyjmuje nową formę (wszystkie zmienne przedstawione są w nim w postaci bezwymiarowej):

$f({\pi }_1,\dots ,{\pi }_{n-r})=0.$

Liczba modułów bezwymiarowych, przy pomocy której da się wyrazić równanie równa jest n-r.

Zobacz też

• analiza funkcjonalna
• analiza wymiarowa
• liczby podobieństwa

Literatura

• Buckingham E., On physically similar systems; illustrations of the use of dimensional equations. Phys. Rev. 4, 345-376 (1914).
• Buckingham E., The principle of similitude. Nature 96, 396-397 (1915).
• Buckingham E., Model experiments and the forms of empirical equations. Trans. A.S.M.E. 37, 263-296 (1915).