Twierdzenie Hurwitza

Szablon:Integracja Szablon:Inne znaczenia Twierdzenie Hurwitza – twierdzenie dotyczące własności pierwiastków zespolonych pewnych wielomianów o współczynnikach rzeczywistych. Jego autorem jest niemiecki matematyk Adolf Hurwitz.

Twierdzenie

Niech $f (z) = a_{n} z^{n} + a_{n - 1} z^{n - 1} + \dots + a_{2} z^{2} + a_{1} z + a_{0}$ oznacza wielomian zmiennej zespolonej o współczynnikach rzeczywistych, przy czym $n ⩾ 1, a_{n} \neq 0, a_{0} > 0 .$ Dla tego, by wszystkie pierwiastki wielomianu $f (z)$ miały części rzeczywiste ujemne potrzeba i wystarcza, aby dodatnie były wszystkie wyznaczniki

W_{1} = a_{1}, W_{2} = | \begin{matrix} a_{1} & a_{0} \\ a_{3} & a_{2} \end{matrix} |, W_{3} = | \begin{matrix} a_{1} & a_{0} & 0 \\ a_{3} & a_{2} & a_{1} \\ a_{5} & a_{4} & a_{3} \end{matrix} |, W_{4} = | \begin{matrix} a_{1} & a_{0} & 0 & 0 \\ a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} \\ a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} \\ a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} \end{matrix} |,

W_{5} = | \begin{matrix} a_{1} & a_{0} & 0 & 0 & 0 \\ a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} & 0 \\ a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} \\ a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} \\ a_{9} & a_{8} & a_{7} & a_{6} & a_{5} \end{matrix} |, \dots, W_{n} = | \begin{matrix} a_{1} & a_{0} & 0 & \dots & 0 \\ a_{3} & a_{2} & a_{1} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{2 n - 1} & a_{2 n - 2} & a_{2 n - 3} & \dots & a_{n} \end{matrix} |,

przy

a_{k} = 0

dla

k > n .

Przykład

Dla wielomianu

f (z) = 4 z^{3} + 8 z^{2} + 10 z + 12

mamy

W_{1} = 10, W_{2} = | \begin{matrix} 10 & 12 \\ 4 & 8 \end{matrix} | = 32,

W_{3} = | \begin{matrix} 10 & 12 & 0 \\ 4 & 8 & 10 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix} | = 128,

zatem wszystkie pierwiastki tego wielomianu mają części rzeczywiste ujemne.

Zobacz też

wielomian stabilny

Twierdzenie Hurwitza

Twierdzenie

Przykład

Zobacz też

Menu nawigacyjne

Szukaj