Jądro operatora całkowego

Jądro operatora całkowego – funkcja dwóch zmiennych, która występuje pod znakiem całki we wzorze określającym operator. Jądro zazwyczaj oznaczamy literą $K$ (ang. kernel).

W praktyce, sens pojęcia jądra przedstawia się następująco: chcemy zdefiniować operator całkowy ${𝒯}_K$ o jądrze $K,$ który przeprowadza funkcje ciągłe określone na przestrzeni $X_1$ w funkcje ciągłe określone na innej przestrzeni $X_2.$ W tym celu dobieramy funkcję ciągłą $K:X_1\times X_2\to ℝ,$ którą będziemy nazywać jądrem naszego przekształcenia.

Wówczas, dla funkcji ciągłej $\phi :X_1\to ℝ$ określamy wartość operatora całkowego ${𝒯}_K$ na tej funkcji w sposób następujący:

$({𝒯}_K\phi )(x_2)=\underset{X_1}{\int }K(x_1,x_2)\phi (x_1)d{x}_1,x_2\in X_2.$

Zatem funkcja wynikowa ${𝒯}_K\phi ,$ będąca wartością operatora dla funkcji $\phi ,$ powstaje poprzez przemnożenie $\phi$ przez $K$ i scałkowanie względem tej ze zmiennych, od której zależy $\phi .$

Osobną kwestią jest to, czym są $X_1$ oraz $X_2$ oraz jakie warunki musi spełniać jądro aby operator całkowy był poprawnie określony.

Zobacz też

• twierdzenie Dunforda