Lodovico Ferrari

Lodovico Ferrari (ur. 2 lutego 1522 w Bolonii, zm. 5 października 1565 tamże) – matematyk włoski, odkrywca metody rozwiązywania równań czwartego stopnia.

Życiorys

Po przedwczesnej śmierci ojca, Aleksandra Ferrariego, Lodovico zamieszkał u swego stryja Vincenta. Stryjeczny brat Lodovica podjął pracę służącego u Girolama Cardana, jednak samowolnie porzucił tę posadę po dość krótkim czasie. Cardano zażądał od Vincenta aby przysłał mu syna z powrotem do służby, ten jednak wysłał swego bratanka Lodovica. W ten sposób, w wieku lat czternastu, Lodovico został służącym i pomocnikiem Cardana. Ten ostatni, po odkryciu że Lodovico potrafi czytać i pisać, uczynił nastoletniego Lodovico swoim asystentem i studentem.

W 18. roku życia Lodovico zaczął uczyć matematyki, a w 1541 objął posadę wykładowcy geometrii w Fundacji Piatti (pozycję tę wcześniej zajmował Cardano).

Z racji swojej pozycji u boku Cardana, a także wkładu w rozwiązywanie równań był uwikłany w spór pomiędzy Cardanem i Tartaglią. Po opublikowaniu przez Cardana dzieła Ars Magna, Tartaglia starał się wezwać Cardana do publicznej debaty i zawodów matematycznych. Do ich „pojedynku” nigdy nie doszło, natomiast Tartaglia i Ferrari wymienili wiele oskarżeń i obraz w listach otwartych pisanych przy tej okazji. 10 sierpnia 1548, w Mediolanie, doszło do debaty pomiędzy Tartaglią i Ferrarim. Z formalnego punktu widzenia, potyczka nie została rozstrzygnięta bowiem Tartaglia opuścił miasto przed jej ukończeniem. Jednak obserwujący zawody uznali, że Lodovico Ferrari posiada wiedzę i zrozumienie równań stopni 3 i 4 daleko przewyższającą wszystkich innych. Przyniosło to sporą sławę i uznanie młodemu Lodovico.

Po debacie Ferrari dostał wiele ofert pracy, akceptując posadę urzędnika podatkowego przy gubernatorze Mediolanu. W 1565 uzyskał pozycję profesora na Uniwersytecie Bolońskim.

Równania czwartego stopnia

W 1540 Lodovico Ferrari odkrył ogólną metodę redukcji równań czwartego stopnia do równań sześciennych. Razem z metodą rozwiązywania tych ostatnich opracowaną wcześniej przez Scipione del Ferro i Tartaglię pozwalało to rozwiązać wszystkie typy równań stopnia 4. Wyniki te zostały opublikowane przez Cardana w Ars Magna w 1545.

W XVI wieku w Europie nie używano jeszcze liczb ujemnych, więc rozważane równania miały wiele nierównoważnych form (w celu zapewnienia dodatniości współczynników). Na przykład równanie $a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0$ było uważane za różne od równania $a{x}^4+b{x}^3=c{x}^2+dx+e.$ Wszystkie 20 przypadków równań czwartego stopnia zostały w pełni opisane i rozwiązane w Ars magna.

Używając współczesnych oznaczeń, naszkicujemy metodę Ferrariego zastosowaną do równania

Szablon:Wzór

Równanie $a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0$ może być zredukowane do powyższego przez podzielenie obu stron przez $a$ i podstawienie $x=u-\frac{b}{4a}.$

Równanie Szablon:LinkWzór przekształcamy do $u^4+2p{u}^2+p^2=p{u}^2-qu-r+p^2,$ a następnie

Szablon:Wzór

Używając równania Szablon:LinkWzór, dla liczby $v$ możemy napisać następujące równości

Szablon:Wzór

czyli

Szablon:Wzór

Wybierzmy liczbę $v$ tak aby

Szablon:Wzór

Aby to uczynić, przekształcamy równanie Szablon:LinkWzór do

Szablon:Wzór

co jest równaniem stopnia trzeciego (które może być rozwiązane metodami del Ferro i Tartaglii). Lewa strona równania Szablon:LinkWzór to wyróżnik wyrażenia kwadratowego $(p+2v)u^2-qu+(p^2-r+2pv+v^2)$ (gdzie zmienną wolną jest $u$). Zatem przy naszym wyborze $v,$ wyrażenie $(p+2v)u^2-qu+(p^2-r+2pv+v^2)$ jest pełnym kwadratem i równanie Szablon:LinkWzór zostaje zredukowane do

Szablon:Wzór

Powyższe równanie redukujemy już łatwo do równania kwadratowego.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MacTutor
• Równania kwadratowe, sześcienne i czwartego stopnia w serwisie MacTutor History of Mathematics archive