Tekst źródłowy strony Zbiór miary zero Christensena

'''Zbiór miary zero Christensena''' – uogólnienia pojęcia [[zbiór miary zero|zbioru miary zero]] w sensie [[miara Haara|miary Haara]] na [[przestrzeń lokalnie zwarta|lokalnie zwartej]] [[grupa topologiczna|grupie topologicznej]] na podzbiory [[przestrzeń polska|grup polskich]]. Pojęcie to zostało wprowadzone w 1972 roku przez J. Christensena<ref>J.P.R. Christensen, ''On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups''. Proceedings of the International Symposium on Partial Differential Equations and the Geometry of Normed Linear Spaces (Jerusalem, 1972). „Israel J. Math.” '''13''' (1972), s. 255–260 (1973).</ref> oraz niezależnie przez B.R. Hunta, T. Sauera i J.A. Yorke’a<ref>B.R. Hunt, T. Sauer and J.A. Yorke, James, [http://yorke.umd.edu/Yorke_papers_most_cited_and_post2000/1992_12_Hunt_Sauer_Bull-AMS_Prevalence.pdf Prevalence: a translation invariant „almost every” on infinite-dimensional spaces]. „[[Bulletin of the American Mathematical Society|Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.)]]” '''27''' (1992), no. 2, s. 217–238.</ref>.

== Definicja ==
Niech <math>G</math> będzie grupą polską. Podzbiór <math>A \subseteq G</math> nazywany jest ''zbiorem miary zero Christensena'', gdy istnieje taki [[zbiór borelowski]] <math>B \supseteq A</math> oraz taka borelowska [[Przestrzeń probabilistyczna|miara probabilistyczna]] <math>\mu</math> na <math>G,</math> że <math>\mu(gBh) = 0</math> dla wszelkich elementów <math>g,</math> <math>h \in G.</math>

== Uwagi ==
* D. Fremlin pytał czy można pominąć w definicji dobór zbioru <math>B,</math> tj. żądać by tylko <math>\mu(gAh) = 0</math> dla wszelkich elementów <math>g, h \in G,</math> by dostać tę samą klasę zbiorów. Elekes i Sterpāns wykazali, że odpowiedź na powyższe pytanie jest negatywna<ref>M. Elekes, J. Steprāns, ''Haar null sets and the consistent reflection of nonmeagreness'', „Canad. J. Math.” '''66''' (2014), s. 303–322.</ref>
* Christensen udowodnił, że jeżeli <math>G</math> jest metryzowalną grupą lokalnie zwartą, to podzbiór <math>A \subseteq G</math> jest zbiorem miary zero Christensena wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\mu(A) = 0,</math> gdzie <math>\mu</math> oznacza miarę Haara na <math>G.</math>
* Rodzina wszystkich podzbiorów miary zero Christensena danej grupy polskiej <math>G</math> tworzy σ-ideał podzbiorów zbioru <math>X,</math> tj. podzbiór zbioru miary zero Christensena oraz suma przeliczalnie wielu zbiorów miary zero Christensena również mają tę własność. Solecki udowodnił, że ów σ-ideał ma własność ccc, tj. każda rodzina parami rozłącznych zbiorów spoza ideału jest przeliczalna wtedy i tylko wtedy, gdy dana grupa polska jest lokalnie zwarta<ref>S. Solecki, [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm149/fm14932.pdf ''On Haar null sets''], „[[Fundamenta Mathematicae|Fund. Math.]]” '''149''' (1996), s. 205–210.</ref>.

== Przykłady ==
* Hunt udowodnił, że podzbiór [[przestrzeń Banacha|przestrzeni Banacha]] <math>C[0,1]</math> złożonej z wszystkich rzeczywistych [[funkcja ciągła|funkcji ciągłych]] określonych na przedziale [0,1] z normą supremum (rozważanej jako przemienna grupa polska) złożony z tych funkcji, które mają pochodną w przynajmniej jednym punkcie jest zbiorem miary zero Christensena<ref>B.R. Hunt, [http://www.ams.org/journals/proc/1994-122-03/S0002-9939-1994-1260170-X/S0002-9939-1994-1260170-X.pdf ''The prevalence of continuous nowhere differentiable functions''], „[[Proceedings of the American Mathematical Society|Proc. Amer. Math. Soc.]]” '''122''' (1994), no. 3, s. 711–717.</ref>. (Banach wykazał, że zbiór ten jest również [[Zbiór pierwszej kategorii|pierwszej kategorii]]).

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

[[Kategoria:Grupy topologiczne]]
[[Kategoria:Teoria miary]]