Tekst źródłowy strony Zbiór Mandelbrota

[[Plik:Mandelset hires.png|thumb|300px|Zbiór Mandelbrota]]
[[Plik:Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|thumb|300px|Zbiór Mandelbrota]]
[[Plik:Mandelbrot sequence new.gif|thumb|300px|Sekwencja zbliżeń ilustrująca zbiór liczb zespolonych nazywany zbiorem Mandelbrota]]
[[Plik:mandelzoom.jpg|thumb|400px|Przybliżone [[samopodobieństwo]] zbioru Mandelbrota]]
'''Zbiór Mandelbrota''' (zwany też '''żukiem Mandelbrota'''<ref name=pwn>{{encyklopedia PWN|id = 3937122|tytuł = Zbiór Mandelbrota|data dostępu=2017-09-09}}</ref>) – podzbiór [[Płaszczyzna zespolona|płaszczyzny zespolonej]], którego [[brzeg (matematyka)|brzeg]] jest jednym z najbardziej znanych [[fraktal]]i{{odn|Białynicki-Birula|Białynicka-Birula|2002|s=68–69}}<ref name=":1">{{Cytuj |tytuł=Gdzie jest zbiór Mandelbrota? {{!}} Granice nauki |data dostępu=2017-06-20 |opublikowany=www.granicenauki.pl |url=https://www.granicenauki.pl/gdzie-jest-zbior-mandelbrota-26869 |archiwum=https://web.archive.org/web/20180323155355/https://www.granicenauki.pl/gdzie-jest-zbior-mandelbrota-26869 |zarchiwizowano=2018-03-23 }}</ref>, „najsłynniejszym obiektem współczesnej matematyki”. Nazwa tego obiektu została wprowadzona dla uhonorowania jego odkrywcy, matematyka [[Benoît Mandelbrot|Benoit Mandelbrota]]{{odn|Białynicki-Birula|Białynicka-Birula|2002|s=68–69}}.

== Historia odkrycia ==
W 1982 Mandelbrot spopularyzował geometrię fraktalną, publikując swoje dzieło ''The Fractal Geometry of Nature''. Uświadomiło to społeczeństwu, że fraktale są „wśród nas” i mogą przybierać kształty podobne do tych naturalnych{{odn|Białynicki-Birula|Białynicka-Birula|2002|s=68–69}}. Oprócz tych rozważań podał też bardzo prostą metodę na utworzenie fraktalu (zbioru) Mandelbrota, który odkryty został dwa lata wcześniej, i w tymże roku udostępnił publicznie efekty swoich badań{{odn|Białynicki-Birula|Białynicka-Birula|2002|s=68–69}}<ref name=":2">{{Cytuj |autor=Tomasz Lubiński |tytuł=Zbiór Mandelbrot’a – Algorytmy i Struktury Danych |data dostępu=2017-06-20 |opublikowany=www.algorytm.org |url=http://www.algorytm.org/fraktale/zbior-mandelbrota.html |język=pl}}</ref>. Mimo że zbiór nosi nazwisko Mandelbrota, tożsamość prawdziwego odkrywcy jest przedmiotem dysput. Dwóch matematyków upierało się, że odkryli ten zbiór niezależnie od siebie mniej więcej w tym samym czasie, natomiast trzeci, John Hubbard z [[Uniwersytet Cornella|Uniwersytetu Cornella]] wyjawił fakt, że na początku 1979 roku podczas odwiedzin w IBM pokazał Mandelbrotowi, jak zaprogramować coś co rok później znane było jako zbiór Mandelbrota. Mandelbrot znany był także z tego, że nie kwapił się do ujawniania wkładu innych{{odn|Banerjee|Darling|2020|s=82}}.

== Konstrukcja ==
[[Zbiór]] tworzą te [[Płaszczyzna zespolona|punkty]] <math>p \in \mathbb{C},</math> dla których [[Ciąg (matematyka)|ciąg]] <math>(z_i)_{i = 0}^\infty</math> zdefiniowany [[równanie rekurencyjne|równaniem rekurencyjnym]]{{odn|Białynicki-Birula|Białynicka-Birula|2002|s=68–69}}<ref name=":1" /><ref name=":2" />:
: <math>\begin{cases}
z_0 = 0,\\
z_{n+1} = z_n^2 + p.
\end{cases}</math>

nie dąży do [[nieskończoność|nieskończoności]]{{odn|Białynicki-Birula|Białynicka-Birula|2002|s=68–69}}<ref name=":1" /><ref name=":2" />:
: <math>\lim_{n \to \infty} z_n \neq \infty.</math>

Można wykazać, że jest to równoważne z<ref name=":1" />:
: <math>\forall_{n \in \mathbb{N}} |z_n|<2.</math>

Podsumowując jednym zdaniem:
: <math>M = \{p \in \mathbb{C}: \forall_{n \in \mathbb{N}} |z_n|<2\}.</math>

Alternatywnie zbiór Mandelbrota definiuje się jako punkty, które w rodzinie [[zbiór Julii|zbiorów Julii]] dają [[Przestrzeń spójna|zbiory spójne]].

== Samopodobieństwo ==
Zbiór Mandelbrota '''nie jest''' samopodobny{{odn|Białynicki-Birula|Białynicka-Birula|2002|s=68–69}}<ref name=":1" />, co zostało dowiedzione przez chińską matematyczkę [[Tan Lei]], łącznie z faktem, że lokalnie jest podobny do odpowiedniego [[Zbiór Julii|zbioru Julii]].

== Obrazy przybliżone ==
[[Plik:Iter 128.gif|thumb|Przybliżony (128 pierwszych wyrazów ciągu) obraz zbioru (czarny)]]
[[Plik:Iter 2048.gif|thumb|Dokładniejszy obraz (2048 pierwszych wyrazów ciągu)]]

Za pomocą [[grafika komputerowa|komputera]] można wykreślić przybliżone obrazy zbioru Mandelbrota. Obrazy takie przedstawiają zamieszczone rysunki.

Aby uzyskać taki obraz, dla każdego punktu <math>p</math> oblicza się pewną liczbę początkowych wyrazów ciągu <math>z_n.</math> Decyduje się, że punkt należy do zbioru, jeżeli dla wszystkich (w szczególności dla ostatniego) wyrazów tego podciągu spełniony jest warunek <math>|z_n|<2.</math> Jest to tym samym obraz przybliżony. Okazuje się jednak, że efekt przybliżenia jest widoczny tylko w dużych powiększeniach. [[Zbiór]] Mandelbrota zawiera się w (jest [[podzbiór|podzbiorem]]) każdym przybliżeniu. Dla każdego z punktów '''nie należących''' do zbioru można określić liczbę <math>m{:}</math>
: <math>\forall_{n \leqslant m} |z_n|<2.</math>

Jest to liczba początkowych wyrazów ciągu <math>z_n,</math> które spełniają powyższy warunek. Ponieważ podczas wyznaczania obrazu przybliżonego liczba <math>m</math> jest uzyskiwana niejako „za darmo”, często wykorzystuje się ją do zabarwiania punktów nie należących do zbioru Mandelbrota. Każdej z wartości <math>m</math> przyporządkowuje się pewien kolor.

[[Plik:Mandelbrot set Components.jpg|thumb|Brzeg składowych zbioru Mandelbrota dla okresów 1-6]]
[[Plik:Centers8.png|thumb|Punkty centralne składowych zbioru Mandelbrota dla okresów 1-8]]

== Przykładowy program ==
Skrypt napisany w [[MATLAB|Matlabie]] generujący zbiór Mandelbrota podobny jak na górze strony:

<syntaxhighlight lang="matlab">
%Zbiór Mandelbrota

%zakres układu współrzędnych:
x_min = -2.5;
x_max = 1.5;
y_max = 1.25;
y_min = -1.25;

iterations = 50;
m = input('podaj szerokość:\n'); %program wygeneruje obrazek o szerokości m pikseli i proporcji zależnej od zakresu układu wsp.
n = floor(m * (y_max - y_min)/(x_max - x_min));
unit = (x_max - x_min)/m;
Mal = zeros(n,m,3);

C_0 = x_min + 1i*y_max;
C = C_0;

%Tutaj zaczynają się parametry kolorowania
w1 = 50;
w2 = 50;
w3 = 50;

p1 = 2.2;
p2 = 2.2;
p3 = 2.2;

c1 = 1/4;
c2 = 1/2;
c3 = 3/4;

f1 = @(x) exp(-w1*abs(x-c1).^p1);
f2 = @(x) exp(-w2*abs(x-c2).^p2);
f3 = @(x) exp(-w3*abs(x-c3).^p3);
%koniec kolorowania

for i = 1:n
    C = C - real(C) + real(C_0);
    for j = 1:m
        c = checkC(0, C, iterations) / iterations;
        Mal(i,j,1) = f1(c);
        Mal(i,j,2) = f2(c);
        Mal(i,j,3) = f3(c);
        %Mal(i,j:) = c; %gdy chcemy zbiór czarno biały
        C = C + unit;
    end
    C = C - 1i*unit;
end

imshow(Mal);
</syntaxhighlight>

Użyta w skrypcie funkcja sprawdzająca zbieżność ciągu:
<syntaxhighlight lang="matlab">
function [ it_used ] = checkC(z_0, C, it_max )

    for i = 0:it_max
        z_1 = z_0^2 + C;
        if abs(z_1) >= 2
            break;
        end
        z_0 = z_1;
    end

    it_used = i;
end
</syntaxhighlight>

== Zobacz też ==
* [[Udo z Aachen|mnich Mandelbrota]]
* [[MPSolve]] – obliczanie punktów centralnych składowych zbioru Mandelbrota
* [[płonący statek]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę|tytuł=Dziwna matematyka|imię = Agnijo|nazwisko = Banerjee|imię2 = David|nazwisko2 = Darling|rok = 2020|wydawca = Helion S.A.|isbn = 8328356872|odn=tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko=Białynicki-Birula |nazwisko2=Białynicka-Birula |imię=Iwo | autor link = Iwo Białynicki-Birula |imię2=Iwona |tytuł=Modelowanie rzeczywistości |rok=2002 |wydawca=Prószyński i S-ka SA |miejsce=Warszawa |strony= |isbn=83-7255-103-0|odn=tak}}

== Linki zewnętrzne ==
{{commons|Mandelbrot set}}

; Polskojęzyczne
* [http://www.algorytm.org/fraktale/zbior-mandelbrota.html Informacje o fraktalu i kod w różnych językach programowania]

; Anglojęzyczne
* {{MathWorld|adres=MandelbrotSet |tytuł=Mandelbrot Set |data dostępu=12 grudnia 2020}}
* {{otwarty dostęp}} ''[https://www.youtube.com/watch?v=u9GAnW8xFJY Decoding Math's Most Famous Fractal: The Mandelbrot Set]'', kanał Quanta Magazine na [[YouTube]], 27 stycznia 2024 [dostęp 2024-01-28].
* [http://tilde.club/~david/m/ Generator żuka Mandelbrota] napisany w HTML5 i JavaScript
* [https://7affer.github.io/fractalTS/ FractalTS] Generator zbiorów mandelbrota, płonącego statku oraz odpowiadających zbiorów julii
* Fragment żuka Mandelbrota wyświetlony przy ograniczeniu do [http://guciek.net/web_mandelbrot/en#-1.7499297388483972;0.000007125768768699902;0.0000019073486328125;500 500 iteracji]{{Martwy link|date=March 2013}} lub [http://guciek.net/web_mandelbrot/en#-1.7499297388483972;0.000007125768768699902;0.0000019073486328125;2000 2000 iteracji]{{Martwy link|date=March 2013}}.

<center>
<gallery>
Plik:Mandelpart2.jpg
Plik:Mandelpart3.jpg
Plik:Mandelbrot_Budding_turbines.jpg
</gallery>
</center>

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Geometria fraktalna]]