Tekst źródłowy strony Zbiór

{{Inne znaczenia|pojęcia pierwotnego matematyki|[[zbiór (ujednoznacznienie)|inne znaczenia tego słowa]]}}
'''Zbiór''' (dawniej także ''mnogość''{{odn|Waliszewski|1988|s=327}}) – [[pojęcie pierwotne]] [[aksjomat]]ycznej [[teoria mnogości|teorii mnogości]]<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 4000797 | tytuł = zbiór | data dostępu = 2021-10-04 }}</ref> (zwanej też teorią zbiorów) leżące u podstaw całej [[matematyka|matematyki]]{{odn|Waliszewski|1988|s=327}}; idealizacja intuicyjnie rozumianego zbioru (zestawu, kolekcji) utworzonego z elementów (komponentów, składowych), która jest efektem [[abstrakcja (matematyka)|abstrahowania]] od wewnętrznej [[struktura|struktury]] [[modelowanie matematyczne|modelowanego]] [[przedmiot|obiektu]] i wzajemnych zależności między jego elementami (np. [[hierarchia|hierarchii]], czy [[porządek|kolejności]]).

== Wprowadzenie ==
Każdy zbiór jest jednoznacznie wyznaczony przez swoją zawartość (tzn. istnieje tylko jeden zbiór złożony z zadanych elementów), przy czym każdy element może należeć do danego zbioru bądź nie (tzn. element nie może należeć do zbioru więcej niż raz). Pojęcie zbioru ma charakter [[byt w sensie dystrybutywnym|dystrybutywny]], a nie [[byt w sensie kolektywnym|kolektywny]]: [[Mars]] jest elementem zbioru [[planeta|planet]] [[Układ Słoneczny|Układu Słonecznego]], lecz jakikolwiek element tej planety, np. leżąca na niej skała, nie jest już elementem wspomnianego zbioru planet (dystrybutywność); [[nadwozie]] jest elementem zbioru części [[samochód|samochodu]], przy czym [[wycieraczka]] jest elementem nadwozia, a więc jest elementem samochodu (kolektywność).

W tzw. ''naiwnej'' (tj. [[aksjomat|niezaksjomatyzowanej]]) teorii mnogości zbiory wprowadza się wraz z relacją <math>\in</math> ''należenia'' lub ''przynależności'' do zbioru{{u|u1}} oznaczaną zmodyfikowaną [[minuskuła|małą literą]] [[alfabet grecki|alfabetu greckiego]] <math>\epsilon</math> (dla odróżnienia w matematyce korzysta się z innego jej wariantu typograficznego, <math>\varepsilon</math>); przykładowo należenie elementu <math>a</math> do zbioru <math>A</math> zapisuje się zwykle <math>a \in A,</math> zaś zaprzeczenie tego zdania („element <math>a</math> nie należy do zbioru <math>A</math>”) uzyskuje się poprzez przekreślenie znaku relacji należenia: <math>a \notin A</math>{{u|u2}}.

Elementy danego zbioru zwykło się zapisywać w [[nawias|nawiasach klamrowych]]; przykładowo zbiór składający się z czterech elementów <math>\bigstar, 3, \spadesuit, \P</math> zapisuje się zwykle symbolicznie w postaci
: <math>\{\bigstar, 3, \spadesuit, \P\};</math>

jest to jedyny zbiór składający się z tych elementów, co oznacza, że napisy <math>\{3, \bigstar, \spadesuit, \P\},</math> czy <math>\{\P, \bigstar, 3, \spadesuit\}</math> (kolejność podawania elementów nie ma znaczenia), bądź <math>\{\bigstar, \P, 3, \bigstar, \spadesuit, \spadesuit\}</math> (wielokrotne wymienienie tego samego elementu niczego nie przydaje) oznaczają ten sam zbiór. Poniekąd najprostszym, choć dość nieintuicyjnym zbiorem jest zbiór nie zawierający żadnego elementu, tzw. [[zbiór pusty]] <math>\{\}</math> oznaczany zwykle symbolem <math>\varnothing.</math> Elementami zbiorów mogą być również inne zbiory – zbiory złożone ze zbiorów nazywa się zwykle ''[[rodzina zbiorów|rodzinami]]'' (zbiorów). Należy wyraźnie zaznaczyć, że zbiór <math>\varnothing</math> nie ma elementów, podczas gdy do zbioru <math>\{\varnothing\}</math> należy jeden element: zbiór pusty <math>\varnothing</math> (jest to więc jednoelementowa rodzina zbiorów złożona ze zbioru pustego).

Nie ma żadnego ograniczenia nałożonego na liczebność zbiorów, nazywaną ich ''[[moc zbioru|mocą]]'' – moc zbioru <math>A</math> oznaczana będzie dalej symbolem <math>\#A</math> – wyróżnia się nawet różne hierarchie wielkości zbiorów związane z ich licznością (np. [[skala alefów]], czy [[skala betów]]).

== Określanie ==
Wyszczególnienie wszystkich elementów danego zbioru może być co najmniej nużące (gdy zbiór jest skończony), a niekiedy nawet niemożliwe (gdy zbiór jest nieskończony). Jednym ze sposobów skrócenia tego zapisu jest wykorzystanie notacji wielokropkowej, która zakłada pewną domyślność czytelnika; przykładowo zbiór zawierający wszystkie [[parzystość liczb|nieparzyste]] [[liczby naturalne]] większe od <math>2,</math> lecz mniejsze od <math>84,</math> można wskazać zapisując
: <math>\{3, 5, 7, \dots, 81, 83\}.</math>

Należy jednak uważać, by zapis był dostatecznie jednoznaczny. Przykładowo <math>\{3, 5, 7, \dots, 83\}</math> może być zinterpretowane jako zbiór [[Liczby pierwsze|liczb pierwszych]] w danym [[przedział (matematyka)|przedziale]]. Z kolei <math>\{3, \dots, 83\}</math> może oznaczać wszystkie liczby naturalne z podanego zakresu.

Innym sposobem jest użycie [[formuła logiczna|formuły logicznej]] (warunku logicznego), jeśli <math>W(x)</math> jest zdaniem logicznym o elemencie <math>x</math> zbioru <math>X,</math> to zapis
: <math>\big\{x \in X : W(x)\big\}</math>

oznacza zbiór wszystkich elementów <math>x \in X,</math> które spełniają warunek <math>W(x).</math>

W początkach teorii mnogości stosowano notację <math>\{x : W(x)\},</math> tzn. nie ograniczano się do wybierania elementów z ustalonego zbioru – okazało się jednak, że prowadzi to do sprzeczności takich jak [[paradoks zbioru wszystkich zbiorów]], czy [[antynomia Russella]]. Wspomniane problemy związane z konstruowaniem zbiorów były impulsem do formalizacji teorii mnogości poprzez porzucenie naiwnej teorii zbiorów na rzecz różnych [[aksjomat]]yzacji pojęć zbioru i relacji należenia; jedną z najczęściej stosowanych jest [[aksjomaty Zermela-Fraenkla|aksjomatyka Zermela-Fraenkla]] (w jednym ze swych wariantów){{u|u3}}.

== Relacje ==
{{Osobny artykuł|podzbiór|o1=podzbiór|aksjomat ekstensjonalności|o2=aksjomat ekstensjonalności}}
[[Plik:Probability venn a b c d.svg|thumb|200px|Przykładowe relacje pomiędzy zbiorami: rozłączność (A i D), posiadanie pewnych elementów wspólnych (A i C), zawieranie, czyli inkluzja (B w A).]]

W ogólności, dwa dowolne zbiory <math>A</math> i <math>B</math> mogą:
* być ''[[Zbiory rozłączne|rozłączne]]'', jeżeli nie posiadają wspólnych elementów;
* ''przecinać się'', czyli mieć ''niepustą [[część wspólna|część wspólną]]'', jeżeli mają pewne elementy wspólne;
* być w relacji ''inkluzji'', czyli zawierania. Zbiór <math>B</math> jest zawarty w <math>A</math> (jest [[podzbiór|podzbiorem]] zbioru <math>A</math>) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru <math>B</math> należy do zbioru <math>A</math>{{odn|Rasiowa|1975|s=10}}{{odn|Kuratowski|1980|s=21}}:
: <math>B \subseteq A \Leftrightarrow \forall_x (x \in B \Rightarrow x \in A);</math>
* być ''równe'', jeżeli mają wszystkie elementy wspólne:
: <math>A = B \Leftrightarrow \forall_{x \in \Omega} (x \in A \Leftrightarrow x \in B)</math>{{odn|Rasiowa|1975|s=11}}<math>\Leftrightarrow (A \subseteq B \land B \subseteq A)</math>{{odn|Kuratowski|1980|s=21}}.

Warunek równości zbiorów nazywany jest [[aksjomat ekstensjonalności|aksjomatem ekstensjonalności]]. Mówi on, że dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy. Zatem każdy zbiór jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje elementy.

Równość zbiorów jest przykładem [[relacja równoważności|relacji równoważności]], natomiast inkluzja jest relacją [[częściowy porządek|częściowego porządku]]. Innym przykładem relacji równoważności wśród zbiorów jest [[Moc zbioru|równoliczność]].

== Działania ==
{{Osobny artykuł|suma zbiorów|o1=suma|część wspólna|o2=iloczyn|różnica zbiorów|o3=różnica|dopełnienie zbioru|o4=dopełnienie|różnica symetryczna}}

<center>
<gallery perrow="4" widths="200px" heights="100px" style="text-align:center;">
Plik:Set union.png|Suma <math>A \cup B</math> oznaczona kolorem ciemnoniebieskim.
Plik:Set intersection.png|Iloczyn <math>A \cap B</math> oznaczony kolorem ciemnoniebieskim.
Plik:Venn B minus A.svg|Różnica <math>B \setminus A</math> oznaczona kolorem ciemnoniebieskim.
Plik:Venn A symmetric minus B.svg|Różnica symetryczna <math>A \triangle B</math> oznaczona kolorem ciemnoniebieskim.
</gallery>
</center>

Niech dane będą dowolne trzy [[podzbiór|podzbiory]] <math>A, B</math> oraz <math>C</math> zbioru <math>\Omega</math> nazywanego ''[[przestrzeń (matematyka)|przestrzenią]]'' lub ''[[uniwersum (matematyka)|uniwersum]]''.

; Definicje
* ''Sumą'' <math>A \cup B</math> nazywa się zbiór tych elementów, które należą przynajmniej do jednego ze zbiorów <math>A</math> lub <math>B</math>{{odn|Rasiowa|1975|s=12}}{{odn|Kuratowski|1980|s=19}}{{odn|Kuratowski|Mostowski|1952|s=6}},
*: <math>A \cup B = \{x \in \Omega : x \in A \lor x \in B\}.</math>
* ''Iloczynem'' <math>A \cap B</math> nazywa się zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do obu zbiorów <math>A</math> oraz <math>B</math>{{odn|Kuratowski|1980|s=19}}{{odn|Rasiowa|1975|s=15}}{{odn|Kuratowski|Mostowski|1952|s=7}},
*: <math>A \cap B = \{x \in \Omega : x \in A \land x \in B\}.</math>
* ''Różnicą'' <math>A \setminus B</math> nazywa się zbiór tych elementów, które należą do zbioru <math>A,</math> ale nie należą do zbioru <math>B</math>{{odn|Kuratowski|1980|s=19}}{{odn|Kuratowski|Mostowski|1952|s=6}}{{odn|Rasiowa|1975|s=18}},
*: <math>A \setminus B = \{x \in \Omega : x \in A \land x \notin B\} = A \cap B^\mathrm c.</math>
* ''Dopełnieniem'' <math>B^\mathrm c</math> nazywa się zbiór tych elementów przestrzeni <math>\Omega,</math> które nie należą do zbioru <math>B</math>{{odn|Rasiowa|1975|s=21}}{{odn|Kuratowski|1980|s=23}},
*: <math>B^\mathrm c = \{x \in \Omega : x \notin B\} = \Omega \setminus B.</math>
* ''Różnicą symetryczną'' <math>A \triangle B</math> nazywa się zbiór tych elementów, które należą do jednego i tylko jednego ze zbiorów <math>A</math> oraz <math>B</math>{{odn|Rasiowa|1975|s=30}}{{odn|Kuratowski|Mostowski|1952|s=8}},
*: <math>A \triangle B = \{x \in \Omega : x \in A\ \underline\lor\ x \in B\} = (A \setminus B) \cup (B \setminus A).</math>

; Własności
* [[łączność (matematyka)|łączność]] sumy i iloczynu (umożliwia wykonywanie jednakowych działań w dowolnej kolejności){{odn|Rasiowa|1975|s=13,15}}{{odn|Kuratowski|1980|s=20}}{{odn|Kuratowski|Mostowski|1952|s=10}},
*: <math>(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C),</math>
*: <math>(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C);</math>
* [[przemienność]] sumy i iloczynu (umożliwia zamianę wykonywania kolejności działania){{odn|Rasiowa|1975|s=13,15}}{{odn|Kuratowski|1980|s=20}}{{odn|Kuratowski|Mostowski|1952|s=10}},
*: <math>A \cup B = B \cup A,</math>
*: <math>A \cap B = B \cap A;</math>
* [[rozdzielność]] sumy względem iloczynu i iloczynu względem sumy{{odn|Kuratowski|1980|s=20}}{{odn|Rasiowa|1975|s=17}}{{odn|Kuratowski|Mostowski|1952|s=11}},
*: <math>A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C),</math>
*: <math>A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C);</math>
* [[prawa De Morgana|I i II prawo De Morgana]]{{odn|Kuratowski|1980|s=23}}{{odn|Rasiowa|1975|s=23}}{{odn|Kuratowski|Mostowski|1952|s=18}},
*: <math>(A \cup B)^\mathrm c = A^\mathrm c \cap B^\mathrm c,</math>
*: <math>(A \cap B)^\mathrm c =A^\mathrm c \cup B^\mathrm c.</math>

; Przykłady
Niech <math>A = \{1, 2, 3, 5\}</math> oraz <math>B = \{1, 3, 4\},</math> a ponadto <math>\Omega = \{1, 2, 3, \dots\}.</math> Wówczas
: <math>A \cup B = B \cup A = \{1, 2, 3, 4, 5\},</math>
: <math>A \cap B = B \cap A = \{1, 3\},</math>
: <math>A \setminus B = \{2, 5\} \text{ oraz } B \setminus A = \{4\},</math>
: <math>A^\mathrm c = \{4, 6, 7, 8, \dots\} \text{ oraz } B^\mathrm c = \{2, 5, 6, 7, \dots\},</math>
: <math>A \triangle B = B \triangle A = \{2, 4, 5\}.</math>

; Uwagi
Działania na zbiorach często określa się mianem „mnogościowych”, aby odróżnić je od innych działań, takich jak [[działanie algebraiczne|działania algebraiczne]]: „suma mnogościowa”, „iloczyn mnogościowy” oraz „różnica mnogościowa” (lub nawet „suma”, „iloczyn”, „[[różnica zbiorów]]”). Działanie dodawania nazywa się niekiedy „unią”, z kolei różnicę nazywa się czasem „dopełnieniem względnym” (względem innego zbioru); dopełnienie bywa nazywane „uzupełnieniem”{{odn|Kuratowski|Mostowski|1952|s=18}}. Alternatywne nazwy „przekrój”, czy „przecięcie” dla iloczynu są spotykane dużo częściej.

Wraz z osobnymi nazwami działania te mają unikatową symbolikę, choć niekiedy różnicę zbiorów oznacza się znakiem odejmowania{{u|u4}}, zaś dopełnienie oznacza się często apostrofem{{u|u5}}, działanie [[Różnica symetryczna zbiorów|różnicy symetrycznej]] wydaje się mieć najmniej ustaloną symbolikę: czasami stosuje się symbol dodawania w okręgu{{u|u6}}; odpowiednio <math>A - B,\ A',\ A \oplus B.</math>

Nazwy i symbole działań na zbiorach odwołujące się do intuicji algebraicznych nie są przypadkowe: niektóre z przedstawionych działań umożliwiają wprowadzenie na [[podzbiór|podzbiorach]] danego zbioru różnych struktur algebraicznych (np. [[ciało zbiorów]], [[pierścień zbiorów]] itp.), w ogólności wszystkie tworzą one tzw. [[Algebra Boole’a|algebrę Boole’a]].

W przypadku działań sumy i iloczynu rozpatruje się również operacje ''skończone'' (zdefiniowane indukcyjnie) i ''nieskończone'' (zdefiniowane za pomocą [[kwantyfikator]]ów, czyli [[rachunek predykatów pierwszego rzędu|logiki pierwszego rzędu]]; nazywane też ''uogólnionymi''). ''[[Suma zbiorów|Sumę]]'' rodziny zbiorów definiuje się jako zbiór tych elementów, dla których [[kwantyfikator egzystencjalny|istnieje]] (choć jeden) sumowany zbiór, do którego należą, z kolei ''[[część wspólna|iloczyn]]'' rodziny zbiorów zawiera wyłącznie te elementy, które należą do [[kwantyfikator ogólny|wszystkich]] zbiorów będących czynnikami.

== Uogólnienia ==
{{Osobny artykuł|para uporządkowana|iloczyn kartezjański|zbiór potęgowy}}
Zbiór dwuelementowy złożony z dwóch (różnych) elementów <math>a, b,</math> nazywany ''parą'' (''nieuporządkowaną''), nie zawiera w sobie informacji o kolejności swoich elementów, tj. <math>\{a, b\} = \{b, a\};</math> istnieje jednak obiekt nazywany ''parą uporządkowaną'', który ją niesie, tj. <math>(a, b) \ne (b, a)</math> – w teorii mnogości definiuje się go zwykle jako zbiór dwuelementowy:
: <math>(a,b) = \{\{a\}, \{a,b\}\}.</math>

''Iloczynem kartezjańskim'' <math>A \times B</math> zbiorów <math>A, B</math> nazywa się zbiór wszystkich [[para uporządkowana|par uporządkowanych]], których pierwszy element należy do zbioru <math>A,</math> a drugi do zbioru <math>B;</math> ze względu na uporządkowanie par jest <math>A \times B \ne B \times A,</math> o ile czynniki są różne. Ponadto <math>\#(A \times B) = \#A \cdot \#B.</math>

''Zbiór potęgowy'' <math>\mathcal P(A)</math> zbioru <math>A</math> to rodzina (zbiór zawierający) wszystkie podzbiory zbioru <math>A;</math> zachodzi <math>\#\mathcal P(A) = 2^{\#A}.</math>

Istnieje wiele uogólnień pojęcia zbioru, wśród nich są m.in.:
* [[klasa (matematyka)|klasa]] – skupisko elementów dzielących wspólną właściwość;
* [[multizbiór]] – zestaw bytów, w którym dany element może występować wielokrotnie;
* [[para uporządkowana|''n''-tka]] – multizbiór, z określoną kolejnością elementów;
* [[teoria zbiorów przybliżonych|zbiór przybliżony]] – zbiór z trzecią możliwością przynależności elementu (np. należenie nieokreślone, nieznane, czy częściowe<ref group="uwaga">Konkretny wybór możliwości odzwierciedla pewną [[logika trójwartościowa|logikę trójwartościową]].</ref>);
* [[zbiór rozmyty]] – zbiór, w którym przynależność elementu do zbioru można wyrazić [[procent]]owo (tj. od 0% do 100%).

== Zobacz też ==
{{wikisłownik|zbiór}}
{{wikibooks2|książka=Matematyka dla liceum|rozdział=Pojęcie zbioru|link=Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Pojęcie zbioru}}
* [[rodzina indeksowana]]
* [[rodzina zbiorów]]
* [[suma rozłączna]]

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} Paweł Lubowiecki, ''[https://www.youtube.com/watch?v=cOqs6nWIAtM Elementy logiki i teorii zbiorów cz. III Zbiory i działania na zbiorach]'', [[Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego]], kanał „Uczelnia WAT” na [[YouTube]], 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-07].
* {{MathWorld | adres = Set | tytuł = Set }} [dostęp 2024-03-07].

== Uwagi ==
{{Uwagi|
<ref name="u1">Formalnie niekiedy określanej w [[klasa (matematyka)|klasie]] wszystkich zbiorów, zob. [[paradoks zbioru wszystkich zbiorów]].</ref>
<ref name="u2">Czasem korzysta się z zapisu odwróconego, odpowiednio: <math>A \ni a</math> oraz <math>A \not\ni a.</math></ref>
<ref name="u3">Innymi są np. kanoniczna [[teoria mnogości Zermela]], czy mniej standardowa [[teoria mnogości Kripkego-Platka]].</ref>
<ref name="u4">Choć może to prowadzić do pomyłki z działaniem wzięcia zbioru [[element odwrotny|elementów przeciwnych]] dla zbioru, w którym określono pewną [[algebra ogólna|strukturę algebraiczną]].</ref>
<ref name="u5">Może to prowadzić do konfliktu z działaniami z innych działów matematyki; istnieją również inne sposoby zapisu tego działania, np. <math>\complement A;</math> w tej notacji <math>\complement_B A</math> oznacza <math>B \setminus A.</math></ref>
<ref name="u6">W algebrze symbolem tym zapisuje się działanie [[Grupa (matematyka)|sumy prostej]].</ref>
}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę|autor = Grzegorz Andrzejczak [i in.]|tytuł = Matematyka |inni = [[Włodzimierz Waliszewski]] (red.) |wydanie = |miejsce = Warszawa |wydawca = Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne| data = 1988 |rozdział = Zbiór |strony = 327 |isbn = 83-02-02551-8 |seria = Encyklopedia szkolna |odn={{odn/id|Waliszewski|1988}}}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Rasiowa |imię = Helena|autor link = Helena Rasiowa |tytuł = Wstęp do matematyki współczesnej |wydanie = 5 |miejsce = Warszawa |wydawca = PWN |data = 1975 |oclc = 749626864 |seria = [[Biblioteka Matematyczna]], t. 30 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Kuratowski |imię = Kazimierz |autor link = Kazimierz Kuratowski |tytuł = Wstęp do teorii mnogości i topologii |wydanie = 8 |miejsce = Warszawa |wydawca = PWN |data = 1980 |isbn = 83-01-01372-9 |seria = [[Biblioteka Matematyczna]], t. 9 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Kuratowski |imię = Kazimierz |autor link = Kazimierz Kuratowski |nazwisko2 = Mostowski |imię2 = Andrzej |autor link2 = Andrzej Mostowski |tytuł = Teoria mnogości |rozdział = Algebra zbiorów |adres rozdziału = http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon27/mon2701.pdf |wydanie = |miejsce = Warszawa |wydawca = Polskie Towarzystwo Matematyczne |data = 1952 |oclc = 250182901 |seria = Monografie matematyczne, t. 27 |odn = tak}}

{{Algebra zbiorów}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Teoria mnogości]]