Tekst źródłowy strony Zastosowanie liczb zespolonych w analizie obwodów elektrycznych

'''Zastosowanie liczb zespolonych''' – umożliwia uproszczoną [[Rozwiązanie obwodu elektrycznego|analizę obwodów elektrycznych]] prądu przemiennego. Możliwe jest to dzięki algebraizacji równań różniczkowo-całkowych poprzez odwzorowanie przebiegów prądu i napięcia w postaci funkcji symbolicznej. Stwarza to możliwość analizy obwodu prądu przemiennego z wykorzystaniem metod używanych podczas analizy obwodów [[Prąd stały|prądu stałego]], a więc [[Metoda potencjałów węzłowych|metody potencjałów węzłowych]], [[Metoda prądów oczkowych|metody prądów oczkowych]], twierdzenia [[Twierdzenie Thevenina|Thevenina]]-[[Twierdzenie Nortona|Nortona]] itd.

[[Liczby zespolone]] mogą być wykorzystywane tylko do analizy [[obwód liniowy|obwodów liniowych]], w których wszystkie źródła energii dostarczają sinusoidalnych prądów i napięć o tej samej [[częstotliwość|częstotliwości]]. Innymi słowy, liczby zespolone nie mogą być wykorzystane do analizy [[Prąd przemienny|przebiegów odkształconych]].

== Wersor rotacyjny ==
Funkcja symboliczna budowana jest przy użyciu [[Wektor jednostkowy|wersora]] rotacyjnego <math>e^{j\omega t}</math> oraz sprzężonego z nim wersora <math>e^{-j\omega t}.</math> Moduł tego wersora równy jest jeden, zaś argument zależny jest od czasu. Obrazem wersora na płaszczyźnie liczb zespolonych jest wektor jednostkowy obracający się z prędkością kątową ω w kierunku matematycznie dodatnim, zaś w przypadku wersora sprzężonego – w kierunku matematycznie ujemnym.
: Uwaga: W [[Elektrotechnika|inżynierii elektrycznej]] [[jednostka urojona]] często oznaczana jest literą '''j''' zamiast rozpowszechnionej '''i''', by uniknąć pomyłki z [[Wartość chwilowa przebiegu czasowego|wartością chwilową]] [[Natężenie prądu elektrycznego|natężenia prądu]] zmiennego, również oznaczaną przez małą literę '''i'''.

== Funkcja symboliczna ==
Funkcja symboliczna wyrażana jest jako iloczyn liczby zespolonej <math>A_m=|A_m|e^{j\alpha}</math> oraz opisanego powyżej wersora rotacyjnego. Można to zapisać jako:
: <math>A(t)=|A_m|e^{j(\omega t + \alpha)}.</math>

Obrazem funkcji symbolicznej na płaszczyźnie liczb zespolonych jest wektor o długości <math>|A_m|</math> i kącie początkowym α, obracający się z prędkością kątową ω w kierunku matematycznie dodatnim.

Uproszczenie analizy obwodów elektrycznych prądu przemiennego, możliwe jest właśnie ze względu na wyjątkowe właściwości funkcji symbolicznej. Pochodna funkcji symbolicznej wyprzedza ją o kąt 90° a jej całka opóźnia się o kąt 90°. Operacje te więc można uprościć zastępując – niezbędne przy analizie obwodów prądu przemiennego – [[Całka|całkowanie]] na dzielenie poprzez czynnik <math>j\omega</math> a [[Różniczka|różniczkowanie]] na mnożenie przez czynnik <math>j\omega.</math>

== Odwzorowanie przebiegów prądu i napięcia w postaci funkcji symbolicznej ==
W łatwy sposób można uzasadnić słuszność odwzorowywania przebiegów prądu i napięcia pod postacią funkcji symbolicznej. Dla przykładowego przebiegu sinusoidalnego prądu na odbiorniku danego wzorem: <math>i=|I_m|\sin(\omega t + \alpha)</math> zbudować można funkcję symboliczną <math>I(t)=|I_m|e^{j(\omega t + \alpha)}.</math> Jeżeli funkcję symboliczną <math>I(t)</math> oraz funkcję do niej sprzężoną przedstawi się w postaci trygonometrycznej:
: <math>I(t)=|I_m|e^{j(\omega t + \alpha)}=|I_m|[\cos(\omega t + \alpha)+j\sin(\omega t + \alpha)]</math>

oraz
: <math>I^*(t)=|I_m|e^{-j(\omega t + \alpha)}=|I_m|[\cos(\omega t + \alpha)-j\sin(\omega t + \alpha)],</math>

to po dodatkowych przekształceniach zauważyć można związek:
: <math>\frac{I(t)-I^*(t)}{2j}=|I_m|\sin(\omega t + \alpha)=i.</math>

Ponieważ z własności liczb zespolonych wynika, że
: <math>\frac{Z-Z^*}{2j}=\frac{a+jb-(a-jb)}{2j}=\frac{2jb}{2j}=b=\operatorname{Im}\{Z\},</math>

stąd:
: <math>i=\operatorname{Im}\{I(t)\}.</math>

I dla napięcia analogicznie:
: <math>u=\operatorname{Im}\{U(t)\}.</math>

Dodatkowym atutem takiego przyporządkowania jest fakt, że nie tylko możliwe jest odwzorowanie przebiegu prądu lub napięcia poprzez funkcję symboliczną, ale także odtworzenie przebiegu sinusoidalnego z funkcji symbolicznej.

== Zespolone wartości skuteczne ==
W powyższych wzorach przykładowy przebieg <math>i=|I_m|\sin(\omega t + \alpha)</math> zawierał czynnik <math>I_m,</math> który odpowiadał zespolonej wartości maksymalnej. Aby przejść z odwzorowania przebiegów sinusoidalnych promieniami wirującymi na odwzorowanie funkcji symbolicznych nieruchomymi wektorami (zatrzymanymi w chwili <math>t=0</math>) wprowadza się zespolone [[Wartość skuteczna|wartości skuteczne]] oznaczane poprzez <math>U</math> oraz <math>I,</math> gdzie:
: <math>I=\frac{I_m}{\sqrt 2},</math>

: <math>U=\frac{U_m}{\sqrt 2}.</math>

To właśnie wartości skuteczne zespolone używane są w ostatecznych obliczeniach z wykorzystaniem metod używanych podczas analizy obwodów prądu stałego – nawet ich oznaczenia sugerują brak powiązania obliczeń z dziedziną czasu.

== Zobacz też ==
* [[liczby zespolone]]
* [[rozwiązanie obwodu elektrycznego]]

{{Teoria obwodów}}

[[Kategoria:Teoria obwodów]]
[[Kategoria:Analiza zespolona]]