Tekst źródłowy strony Zależność zmiennych losowych

{{inne znaczenia|relacji między zmiennymi losowymi.|[[zmienna objaśniana|zmienna zależna]] i [[zmienna objaśniająca|zmienne niezależne]] w analizie regresji}}
[[Plik:Correlation examples.png|thumb|350px|[[Wykres rozrzutu|Wykresy rozrzutu]] pokazujące przykładowe zależności między zmiennymi wraz z odpowiadającymi im wartościami [[współczynnik korelacji Pearsona|współczynnika korelacji Pearsona]]]]
[[Plik:Anscombe's quartet 3.svg|alt=Kwartet Anscombe’a – cztery fundamentalnie różne zestawy danych identycznych cechach statystycznych, takich jak średnia arytmetyczna, wariancja, współczynnik korelacji (r≈0,816). Anscombe ilustrował nim spostrzeżenie, że poza porównywaniem statystyk liczbowych, warto używać graficznych metod reprezentacji danych.|mały|[[Kwartet Anscombe’a]] – cztery zestawy danych o identycznych cechach statystycznych, takich jak średnia arytmetyczna, wariancja oraz [[współczynnik korelacji Pearsona]] (r≈0,816). Anscombe ilustrował w ten sposób uwagę, że poza porównywaniem statystyk liczbowych, warto używać graficznych metod reprezentacji danych.]]
'''Zależność statystyczna zmiennych losowych''' ('''korelacja''', '''asocjacja'''<ref>{{Cytuj |redaktor = Alicja Grześkowiak, Piotr Peternek |tytuł = Zastosowanie metod ilościowych w ekonomii i finansach |data = 2022 |data dostępu = 2024-07-01 |isbn = 978-83-67400-16-9 |opis = Debiuty Studenckie 2022 |miejsce = Wrocław |wydawca = Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu |s = 21-22}}</ref>) – związek pomiędzy dwiema [[zmienna losowa|zmiennymi losowymi]] <math>X</math> i <math>Y.</math>

Intuicyjnie, zależność dwóch zmiennych oznacza, że znając wartość jednej z nich, dałoby się przynajmniej w niektórych sytuacjach dokładniej przewidzieć wartość drugiej zmiennej, niż bez tej informacji.

W dalszej części artykułu będziemy rozważać zmienne losowe o wartościach rzeczywistych i zdarzenia określone na ustalonej przestrzeni probabilistycznej <math>(\Omega, \mathcal{A}, P).</math> Jeśli <math>X</math> jest zmienną losową, to symbolem <math>P_X</math> oznaczać będziemy jej rozkład.

== Zmienne rzeczywiste ==
=== Niezależność statystyczna ===
Mówimy, że zmienne losowe <math>X,Y</math> są '''niezależne''', gdy dla każdych liczb rzeczywistych <math>a,b</math> zachodzi równość
: <math>P(X\leqslant a)P(Y\leqslant b)=P(X\leqslant a \land Y\leqslant b).</math>

Powyższy wzór jest uogólniany na dowolną liczbę zmiennych (por. [[#Zmienne losowe o wartościach rzeczywistych|rozdział ''Zmienne losowe o wartościach rzeczywistych'']].)

W szczególności niezależność każdej dla pary zmiennych <math>X_i,X_j</math> nie oznacza koniecznie niezależności wszystkich zmiennych <math>X_1,X_2,\dots X_n.</math>

=== Zależność statystyczna ===
Mówimy, że zmienne losowe <math>X, Y</math> są '''zależne''', gdy nie są one niezależne – to znaczy, dla pewnych liczb rzeczywistych <math>a,b</math>
: <math>P(X\leqslant a)P(Y\leqslant b) \ne P(X\leqslant a \land Y\leqslant b)</math>

lub w języku [[dystrybuanta|dystrybuant]]:
: <math>F_X(a)F_Y(b) \ne F_{XY}(a,b).</math>

=== Szczególne przypadki ===
==== Zależność monotoniczna ====
Dodatnia zależność monotoniczna zachodzi, gdy zwiększenie wartości jednej ze zmiennych oznacza zwiększenie [[wartość oczekiwana|wartości oczekiwanej]] drugiej zmiennej. Analogicznie ujemna zależność monotoniczna zachodzi, gdy zwiększenie jednej ze zmiennych oznacza zmniejszenie drugiej.

Ściśle zależność monotoniczna (a konkretniej jej odmiana zwana ''Quadrant Dependence'') została określona przez Lehmana (1966). Dodatnia zależność monotoniczna:
: <math>\bigwedge_{(x,y)\in\mathbb{R}^2} P(X<x | Y>y)\leqslant P(X<x).</math>

Ujemna zależność monotoniczna:
: <math>\bigwedge_{(x,y)\in\mathbb{R}^2} P(X<x | Y>y)\geqslant P(X<x).</math>

Istnieją też inne definicje zależności monotonicznej. Lehman podał także dwie silniejsze definicje, a Kowalczyk i [[Elżbieta Pleszczyńska|Pleszczyńska]] (1977) także definicję słabszą.

Powyższe definicje obejmują skrajny przypadek zależności zmiennych <math>(\rho=\pm 1).</math> W praktyce zależność nie musi być pełna. Miarą stopnia zależności monotonicznej są współczynniki [[korelacja rangowa|korelacji rangowej]].

==== Zależność liniowa ====
* Szczególnym przypadkiem zależności monotonicznej jest zależność liniowa. W przypadku skrajnym zachodzi, gdy jedna ze zmiennych jest liniowo zależna od drugiej zmiennej. W praktyce tu również zależność nie musi być pełna. Miarą stopnia zależności liniowej jest np. [[współczynnik korelacji Pearsona]].
* Jeżeli zmienne losowe są niezależne i [[funkcja całkowalna|całkowalne]], to ich [[kowariancja]] jest równa zeru. Bezpośrednim wnioskiem z tego twierdzenia jest następujący fakt:
* Jeżeli zmienne losowe <math>X_1, \dots, X_n</math> są całkowalne i parami niezależne, to
: <math>D^2(X_1+\ldots+X_n)=D^2X_1+\ldots D^2X_n.</math>

== Zmienne losowe o wartościach rzeczywistych ==
Zmienne losowe <math>X_1, \dots, X_n</math> nazywamy '''niezależnymi''', gdy dla każdego ciągu [[zbiór borelowski|zbiorów borelowskich]] (na [[liczby rzeczywiste|prostej]]) <math>B_1, \dots, B_n</math> spełniony jest warunek
: <math>P(X_1\in B_1,\dots, X_n\in B_n)=P(X_1\in B_1)\cdot\ldots\cdot P(X_n\in B_n).</math>

Innymi słowy, zmienne <math>X_1, \dots, X_n</math> są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy generowane przez nie [[Przestrzeń mierzalna|σ-ciała]]<ref>Przypomnijmy, że dla funkcji <math>f\colon \Omega \to \mathbb{R}</math> σ-ciałem generowanym przez funkcję <math>f</math> nazywamy najmniejsze w sensie inkluzji σ-ciało podzbiorów <math>\Omega</math> względem którego funkcja ta jest mierzalna. Tym σ-ciałem jest rodzina <math>\{f^{-1}(B)\colon\, B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\}.</math></ref> <math>\sigma(X_1),\dots, \sigma(X_n)</math> są niezależne.

Używając zmiennych losowych, możemy opisywać [[Zdarzenia losowe niezależne|niezależność zdarzeń]]. I tak, zdarzenia <math>A_1, \dots, A_n</math> są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy niezależne są ich [[funkcja charakterystyczna zbioru|funkcje charakterystyczne]] <math>\mathbf{1}_{A_1}, \dots, \mathbf{1}_{A_n},</math> rozpatrywane jako zmienne losowe. Często wygodnie jest używać następującej charakteryzacji niezależności zmiennych losowych:

Jeśli <math>X_1, \dots, X_m</math> są zmiennymi losowymi, to każde dwa z następujących zdań są równoważne:
# Zmienne losowe <math>X_1, \dots, X_m</math> są niezależne.
# <math>P_{(X_1, \dots, X_n)}=P_{X_1}\otimes \ldots \otimes P_{X_n},</math> tzn. [[Łączny rozkład prawdopodobieństwa|rozkład łączny]] wektora losowego <math>(X_1, \dots, X_n)</math> jest [[miara produktowa|produktem]] rozkładów odpowiednich zmiennych losowych.
# <math>P(X_1\leqslant x_1, \dots, X_n\leqslant x_n)=P(X_1\leqslant x_n)\cdot\ldots\cdot P(X_n\leqslant x_n)</math> dla każdych liczb rzeczywistych <math>x_1, \dots, x_n,</math> tzn. [[dystrybuanta]] wielowymiarowa wektora losowego <math>(X_1, \dots, X_n)</math> jest iloczynem dystrybuant odpowiednich zmiennych losowych.

Ponadto, jeśli zmienne losowe <math>X_1, \dots, X_n</math> mają [[Ciągły rozkład prawdopodobieństwa|rozkłady ciągłe]], a <math>g_1, \dots, g_n</math> są ich gęstościami, to są one niezależne gdy funkcja
: <math>g(x_1, \dots, x_n)=g_1(x_1)\cdot\ldots\cdot g_n(x_n)</math>

jest gęstością wektora losowego <math>(X_1, \dots, X_n).</math>

Jeżeli <math>X_1, \dots, X_n</math> są zmiennymi losowymi o [[Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa|rozkładach dyskretnych]], a <math>S_1, \dots, S_n\subset \mathbb{R}</math> są takimi zbiorami przeliczalnymi, że
: <math>P_{X_1}(S_1)=1,\dots, P_{X_n}(S_n)=1,</math>

to zmienne te są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych liczb <math>x_1\in S_1, \dots, x_n\in S_n</math> zachodzi równość
: <math>P(X_1=x_1, \dots, X_n=x_n)=P(X_1=x_1)\cdot\ldots\cdot P(X_n=x_n).</math>

Jeżeli, natomiast, zmienne losowe <math>X_1, \dots, X_n</math> są niezależne, a <math>(i_1, \dots, i_k)</math> jest ściśle rosnącym ciągiem liczb ze zbioru <math>\{1,\dots, n-1\},</math> to σ-ciała
: <math>\sigma(X_1,\dots, X_{i_1}), \sigma(X_{i_1+1}, \dots, X_{i_2}),\dots, \sigma(X_{i_k+1},\dots, X_n)</math>

są niezależne.

=== Niezależność dowolnej rodziny zmiennych losowych ===
Jeśli <math>\{X_t\}_{t\in T},</math> gdzie <math>T</math> jest pewnym [[Zbiór indeksów|zbiorem indeksów]], jest [[Rodzina indeksowana|rodziną]] zmiennych losowych określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej, to mówimy, że jest ona '''niezależna''', gdy dla każdej liczby naturalnej <math>n</math> oraz dla każdego zbioru indeksów <math>t_1, \dots, t_n</math> będacego podzbiorem <math>T</math> niezależne są zmienne losowe <math>X_{t_1}, \dots, X_{t_n}.</math>

=== Wartość oczekiwana iloczynu niezależnych zmiennych losowych ===
Korzystając z [[twierdzenie Fubiniego|twierdzenia Fubiniego]], można dowieść, że jeśli <math>X_1,\dots, X_n</math> są niezależnymi zmiennymi losowymi, to [[wartość oczekiwana]] [[wartość bezwzględna|modułu]] ich iloczynu wyraża się wzorem
: <math>E|X_1\cdot\ldots\cdot X_n|=(E|X_1|)\cdot\ldots\cdot (E|X_n|).</math>

Jeśli ponadto, zmienne te są całkowalne, to
: <math>E(X_1\cdot\ldots\cdot X_n)=EX_1\cdot\ldots\cdot EX_n.</math>

[[Twierdzenie odwrotne]] nie jest jednak prawdziwe – niech <math>\Omega=[0,1]</math> oraz niech <math>\mathcal{A}</math> będzie σ-ciałem zbiorów borelowskich na tym zbiorze, a <math>P</math> będzie obcięciem [[Miara Lebesgue’a|miary Lebesgue’a]] do tego σ-ciała. Rozważmy następujące zmienne losowe
: <math>X(\omega)=\sin(2\pi \omega), Y(\omega)=\cos(2\pi \omega).</math>

Wartość oczekiwana każdej z nich oraz ich iloczynu wynosi 0, natomiast zmienne te nie są niezależne, gdyż w przeciwnym razie byłyby niezależne zmienne
: <math>|X|, \sqrt{1-X^2}</math> ([[jedynka trygonometryczna]]),

czyli w konsekwencji dla każdego zbioru borelowskiego <math>B</math> byłby spełniony warunek
: <math>P(\{\omega\in [0,1]\colon\, \sin(2\pi\omega)\in B\})\in\{0,1\},</math>

co oczywiście nie jest prawdą.

== Niektóre twierdzenia wykorzystujące założenie niezależności zmiennych ==
* [[Funkcja charakterystyczna (teoria prawdopodobieństwa)|Funkcja charakterystyczna]] sumy niezależnych zmiennych losowych jest iloczynem funkcji charakterystycznych tych zmiennych.
* [[Funkcja tworząca]] sumy niezależnych zmiennych losowych (przyjmujących wartości w zbiorze [[Liczby naturalne|liczb naturalnych]] z zerem) jest iloczynem funkcji tworzących tych zmiennych losowych.
* [[Prawo zero-jedynkowe Kołmogorowa]]
** Jeżeli <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, to
:: <math>P(\{\omega\in \Omega\colon\,\mbox{ szereg }\sum_{n=1}^\infty X_n(\omega)\mbox{ jest zbieżny}\})\in \{0,1\}.</math>
* Rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych, z których choć jedna ma rozkład ciągły, jest rozkładem ciągłym.
* Gęstością sumy niezależnych zmiennych losowych o rozkładach ciągłych jest [[Splot (analiza matematyczna)|splot]] gęstości tych zmiennych losowych.
* Rozkładem (dystrybuantą) sumy niezależnych zmiennych losowych jest splot rozkładów (dystrybuant) tych zmiennych.
* [[Twierdzenie Kołmogorowa-Prochorowa]]
** [[Tożsamość Walda]]
* [[Nierówność Kołmogorowa]]
* [[Test Kołmogorowa-Smirnowa|Twierdzenie Kołmogorowa]]
** [[Prawo wielkich liczb|Mocne prawo wielkich liczb Kołmogorowa]]
** [[Prawo wielkich liczb#Słabe prawo wielkich liczb|Słabe prawo wielkich liczb]]
* [[Twierdzenie Poissona]]
* [[Twierdzenie Gliwenki]]

== Popularne błędy ==
=== Zależność a rozkłady zmiennych ===
Znając rozkłady brzegowe każdej ze zmiennych z osobna, nic nie da się powiedzieć o ewentualnej zależności lub braku zależności pomiędzy nimi. Na przykład między dwiema zmiennymi <math>X</math> i <math>Y,</math> przyjmującymi każdą z wartości {1,2,3,4,5,6} z tym samym prawdopodobieństwem ([[rozkład jednostajny dyskretny]]), może istnieć korelacja ujemna, dodatnia, lub mogą być niezależne:
# Jeśli zmienna <math>X</math> jest wynikiem rzutu kostką, a <math>Y=7-X,</math> to zmienne <math>X</math> i <math>Y</math> są zależne, współczynnik korelacji wynosi -1
# Jeśli zmienna <math>X</math> jest wynikiem rzutu kostką, a <math>Y=X,</math> to zmienne <math>X</math> i <math>Y</math> są zależne, współczynnik korelacji wynosi +1
# Jeśli każda z nich modeluje wyniki rzutu inną kostką, to zmienne <math>X</math> i <math>Y</math> są niezależne, współczynnik korelacji wynosi 0.
# Jeśli zmienna <math>X</math> jest wynikiem rzutu kostką, a <math>Y</math> jest w części przypadków równe <math>X,</math> a w pozostałych przypadkach równe wynikowi rzutu drugą kostką, to zmienne <math>X</math> i <math>Y</math> są zależne, współczynnik korelacji będzie gdzieś pomiędzy 0 a +1.

W każdym z tych przypadków [[rozkład brzegowy]] każdej ze zmiennych <math>X, Y</math> jest identyczny, jednak różni się ich rozkład łączny. W trzech pierwszych przypadkach różni się np. zbiór możliwych wartości pary <math>(X,Y){:}</math>
# W pierwszym przypadku jest to <math>\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\}</math>
# W drugim przypadku <math>\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}</math>
# W trzecim przypadku <math>\{(1,1),(1,2),\dots,(1,6),(2,1),(2,2),\dots,(2,6),(3,1),\dots,(6,6)\}.</math> Zmienne są niezależne, bo informacja o wartości jednej z nich nic nie mówi o wartości drugiej.
# W czwartym przypadku zbiór możliwych wartości jest taki sam jak w trzecim, jednak różnią się prawdopodobieństwa, z jakimi są one przyjmowane. Znajomość zmiennej <math>X</math> pozwala dokładniej przewidywać znajomość zmiennej <math>Y</math> (formalnie: [[rozkład warunkowy]] <math>Y|X=x</math> zmienia się w zależności od <math>x</math>), więc są zależne.

Zależność jest więc cechą rozkładu łącznego porównywanych zmiennych.

=== Zależność a współczynnik korelacji ===
Często błędnie zakłada się, że zależność statystyczna jest równoważna niezerowemu [[współczynnik korelacji|współczynnikowi korelacji]]. Nie jest to prawda. Na przykład zmienne <math>X</math> i <math>Y</math> mogą być związane zależnością:
: <math>Y=X^2\land -1\leqslant X\leqslant 1.</math>

Jest to przykład ścisłej zależności. Jednak zarówno klasyczna [[Współczynnik korelacji Pearsona|korelacja Pearsona]], jak i [[korelacja rangowa|rangowa]] dadzą wartość zero (dla [[próba statystyczna|próbki]] – bliską zeru), gdyż zależność ta nie jest monotoniczna, ani tym bardziej liniowa.

=== Zależność a wynikanie ===
Częstym błędem jest przyjmowanie, że zmienna nawet silnie skorelowana z inną jest jej skutkiem. Uświadamia to taki oto przykład: dźwięk dworcowego zegara wybijającego godzinę pierwszą jest niezwykle silnie skorelowany z odjazdem pociągu o 1:00 ze stacji, nie jest on jednak żadną ''przyczyną ruchu'' – i odwrotnie, odjazd pociągu nie jest ''przyczyną dźwięku''. W tym wypadku mamy jedynie do czynienia ze [[Koincydencja|współwystępowaniem]] zjawisk, a nie związkiem przyczynowo-skutkowym. W związku z tym jeśli czynnik A (np. wykształcenie) i czynnik B (np. zarobki) korelują ze sobą, to powinno się tworzyć przynajmniej kilka hipotez na temat ewentualnego związku przyczynowego między nimi:
# '''Czynnik A wpływa na czynnik B.''' Tu: wykryto związek między zarobkami a wykształceniem, bo wyższe wykształcenie ''powoduje'' że dana osoba więcej zarabia.
# '''Czynnik B wpływa na czynnik A.''' Tu: ludzie zamożniejsi mają lepszy dostęp do wykształcenia i dlatego istnieje związek między zarobkami a wykształceniem.
# '''Jednocześnie A wpływa na B i B na A''' Tu: z jednej strony ludzie zamożniejsi mają lepszy dostęp do wykształcenia, ale z drugiej ludzie lepiej wykształceni mają lepsze zarobki.
# '''Istnieje czynnik C niezidentyfikowany w badaniu, który koreluje z A i z B.''' Tu: miejsce zamieszkania (lub ambicje) mogą być czynnikiem, który z jednej strony powoduje, że ktoś więcej zarabia, a z drugiej, że ma wyższe wykształcenie.

'''Korelacja nie dowodzi więc żadnego związku przyczynowo-skutkowego.'''

Wśród statystyków jako przykład podawana jest anegdota o tym, że wykryto [[Poziom istotności|istotną statystycznie]] dodatnią zależność pomiędzy liczbą bocianów przypadających na km² w danym skupisku ludzkim, a [[przyrost naturalny|przyrostem naturalnym]] na tym obszarze. Oczywiście nie dowodzi to, że bociany przynoszą dzieci. Na wsi jest średnio większy przyrost naturalny i czasem żyją tam bociany. W mieście przyrost jest mniejszy i nie ma bocianów. Istnienie trzeciej zmiennej – miasto / wieś, skorelowanej zarówno z liczbą bocianów, jak i z przyrostem naturalnym powoduje powstanie zależności także tamtych dwóch zmiennych.

W innej wersji mówi się o korelacji liczby bocianów z liczbą dzieci na tym samym terenie wiejskim w skali wielu lat. Okazuje się, że liczba bocianów jest skorelowana dodatnio z ciepłym latem, a przy dobrej pogodzie wzrastać ma też liczba par kochających się na łonie natury.

Prawdopodobnie nie są to wyniki poważnych badań, lecz tylko legenda, niemniej jest ona dobrą ilustracją, jak może powstawać zależność, niebędąca [[Przyczynowość|związkiem przyczynowo-skutkowym]]<ref>[http://www.mp.pl/artykuly/index.php?aid=10898&_tc=64CFF65405374363BB5CCD9A36F5121D], [https://web.archive.org/web/20051107043511/http://www.pckurier.pl/archiwum/art0.asp?ID=4466].</ref>.

Podobnie, można by się dopatrzyć silnej dodatniej korelacji między wzrostem liczby ludności w Indiach a liczbą samochodów w Polsce, choć jest to jedynie czysto statystyczna korelacja, współwystępowanie zjawisk, a nie jakikolwiek związek przyczynowo-skutkowy.

Innym przykładem jest korelacja liczby zgonów osób bezdomnych w Indiach a poziomem spożycia lodów w [[Stany Zjednoczone|Stanach Zjednoczonych]]. Tu trzecią zmienną jest średnia [[temperatura]] lata na [[Półkula północna|półkuli północnej]]. Jej zwiększenie powoduje więcej zgonów spowodowanych upałem i oczywiście zwiększenie spożycia lodów.

=== Niesprawdzanie istotności statystycznej oraz wielkości efektu ===
Przy zbyt małej próbie fałszywe korelacje mogą powstać zupełnie przypadkowo<ref>Dużo przykładów fałszywych korelacji można znaleźć [http://tylervigen.com/ tutaj].</ref>, stąd ważne jest sprawdzanie [[Poziom istotności|istotności statystycznej]] uzyskanego wyniku. Przy bardzo dużych próbach – a co za tym idzie, bardzo wysokiej [[Moc testu|mocy statystycznej]] – istotność osiągają nawet mikroskopijne współzmienności, co z kolei wskazuje na to, że ważne jest branie pod uwagę [[Wielkość efektu|wielkości efektu]] zaobserwowanych zależności. Miarą wielkości efektu dla korelacji jest współczynnik korelacji.

=== Obserwacje odstające ===
Innym częstym błędem jest niesprawdzanie, czy w próbie nie występują [[obserwacja odstająca|obserwacje odstające]], które mogą całkowicie przekłamać wartość i znak współczynnika korelacji Pearsona.

== Zobacz też ==
* [[zdarzenia losowe niezależne]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko=Jakubowski |imię=Jacek |nazwisko2=Sztencel |imię2=Rafał |tytuł=Wstęp do teorii prawdopodobieństwa |wydawca=Script |rok=2004 |miejsce=Warszawa |isbn=83-89716-02-X}}
* {{cytuj książkę |nazwisko=Koronacki |imię=Jacek |nazwisko2=Mielniczuk |imię2=Jan |tytuł=Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych |wydawca= [[Wydawnictwa Naukowo-Techniczne|WNT]] |miejsce=Warszawa |rok=2006 |isbn = 83-204-3242-1}}
* {{Cytuj pismo |nazwisko=Lehmann |imię=E.L. |tytuł=Some concepts of dependence |czasopismo=Ann. Math. Statist. |rok=1966 |oznaczenie=37 1137-53}}
* {{Cytuj pismo |nazwisko=Kowalczyk |imię=T. |nazwisko2=Pleszczyńska |imię2=E. |autor link2=Elżbieta Pleszczyńska |tytuł=Monotonic Dependence Functions of Bivariate Distributions |czasopismo=The Annals of Statistics |rok=1977 |oznaczenie=Vol. 5, No.6, 1221-1227}} https://www.jstor.org/stable/2958654

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Zmienne losowe]]